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1、东莞2012-2013学年度第一学期高三调研测试文科数学东莞2012-2013学年度第一学期高三调研测试文科数学参考答案一、选择题（每小题5分，满分50分.）题号12345678910答案CDACDBDBBC二、填空题（每小题5分，满分20分．）11.；12.4；13.-5；14.；15..三、解答题（本大题共6小题，满分80分．）16.（本小题满分12分）解:（1）由,得=,……………2分由正弦定理得,……………4分因为，，所以，，从而有，，故.……………6分（2）由=，得.……………8分又由余弦定理，得，……………10分当且仅当时等号成立,……………11分所以,的最小值为.……………
2、12分17．（本小题满分12分）解：（1）因为各组的频率之和等于1,所以分数在内的频率为：，……………3分所以第三组的频数为（人）.……………4分完整的频率分布直方图如图.……………6分0.0301000.0250.0150.0059080706050频率组距分数0.0200.01040（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为分.……………8分又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为:（分）.………11分所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分.………12分18.（本小题满分14分）解:（1）因为和的等差中项是，所以（），即，……………2
3、分由此得（），………3分即（），……………4分又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.……………5分（2）由（1）得，即（），………6分所以，当时，，…8分又时，也适合上式，所以.……………9分（3）要使不等式对任意正整数恒成立，即小于或等于的所有值.又因为是单调递增数列,……………10分且当时，取得最小值,……………11分要使小于或等于的所有值，即,……………13分所以实数的最大值为.……………14分19.（本小题满分14分）证明：(1)因为在图a的等腰梯形中，，所以在四棱锥中,,.…………1分又，且，所以，，…………2分而平面，平面，，所以平面.…………3分因为平面，所以平面平面.
4、…………4分ABDCOPMN解：(2)因为，且所以平面，又平面，所以平面平面.如图，过作,垂足为,则平面.……5分在等腰梯形中，，,，所以，，.…………6分设，则.…………7分..…………8分因为，所以，解得.………9分在中，,所以,.所以.…………10分(3)在梯形中，连结、交于点，连结.易知∽，所以.…………11分又,所以，…………12分所以在平面中，有.…………13分又因为平面，平面，所以平面.…………14分20.（本小题满分14分）解：（1）由题意可得，，…………1分所以，…………2分又，…………3分所以，即.…………4分（2）因为过原点的直线与椭圆相交的两点关于坐标原点对称，所
5、以可设.…………5分因为在椭圆上，所以有，………①，………②…………6分①-②得.又,，…………7分所以，…………8分故的值与点的位置无关，与直线也无关.…………9分（3）由于在椭圆上运动，椭圆方程为，故，且.…………10分因为，所以．…………12分由题意，点的坐标为时，取得最小值，即当时，取得最小值，而，故有，解得．…………13分又椭圆与轴交于两点的坐标为、，而点在线段上，即，亦即，所以实数的取值范围是．…………14分21.（本小题满分14分）解：（1）由知，的定义域为,,…1分又在处的切线方程为，所以有,①…………2分由是函数的零点，得,②…………3分由是函数的极值点，得，③…………
6、4分由①②③，得，，.…………5分（2）由(1)知，因此，，所以.…………6分要使函数在内不是单调函数，则函数在内一定有极值，而，所以函数最多有两个极值.…………7分令.（ⅰ）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即在内有且仅有一个根，又因为，当，即时，在内有且仅有一个根，当时，应有，即，解得，所以有.………8分.（ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函数在内有两个不等根，所以解得.…………9分综上，实数的取值范围是.…………10分（3）由，得，令，得，即的单调递减区间为.由函数在上单调递减可知，当时,，即，…………11分亦即对一切都成立，亦即对一切都成立，…………12
7、分所以，，，…，…………13分所以有，所以.…………14分
