三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结

三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结

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1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1.O是的重心;若O是的重心,则故;为的重心.2.O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心,则故3.O是的外心(或)若O是的外心则故4.O是内心的充要条件是ACBCCP引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记的单位向量为,则刚才O是内心的充要条件可以写成 ,O是内心的充要条件也可以是。若O是的内心,则 故 ;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线);范例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1.O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满

2、足,则P点的轨迹一定通过的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解析:因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为,又,则原式可化为,由菱形的基本性质知AP平分,那么在中,AP平分,则知选B.-10-(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是△ABC所在平面内任一点,点H是△ABC的垂心.由,同理,.故H是△ABC的垂心.(反之亦然(证略))例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点,若,则P是△ABC的(D )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解析:由.即则所以P为的垂心.故选D.(三

3、)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.G是△ABC所在平面内一点,=0点G是△ABC的重心.证明作图如右,图中连结BE和CE,则CE=GB,BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点,AD为BC边上的中线.将代入=0,得=0,故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略))例5.P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.证明∵G是△ABC的重心∴=0=0,即由此可得.(反之亦然(证略))例6若为内一点,,则是的(    )A.内心          B.外心       C.垂心         

4、D.重心解析:由得,如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形,则,由平行四边形性质知,,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。(四)将平面向量与三角形外心结合考查例7若为内一点,,则是的(    )A.内心          B.外心       C.垂心         D.重心-10-解析:由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心 ,选B。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8.已知向量,,满足条件++=0,

5、

6、=

7、

8、=

9、

10、=1,求证△P1P2P3是正三角形.(《数学》第一册(下),复习参考

11、题五B组第6题)证明由已知+=-,两边平方得·=,同理·=·=,∴

12、

13、=

14、

15、=

16、

17、=,从而△P1P2P3是正三角形.反之,若点O是正三角形△P1P2P3的中心,则显然有++=0且

18、

19、=

20、

21、=

22、

23、.即O是△ABC所在平面内一点,++=0且

24、

25、=

26、

27、=

28、

29、点O是正△P1P2P3的中心.例9.在△ABC中,已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2。【证明】:以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2),

30、D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,则有:由题设可设,AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF-10-即,故Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2例10.若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证.证明若△ABC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD,CD.∴,.又垂心为H,,,∴AH∥CD,CH∥AD,∴四边形AHCD为平行四边形,∴,故.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系:(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”;(2)三

31、角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题.例11.设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证证明按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理由此可得.补充练习1.已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足=(++2),则点P一定为三角形ABC的(B)A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点1.B取AB边的中点M,则,由=(

32、++2)可得3,∴,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点,且点P不过重心,故选B.2.在同一个平面上有及一点O满足关系式:+=+=+,则O为的(  D  )A外心B内心C重心D垂心2.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足:,则P为的(  C  )A外心B内心C重心D垂心3.已知O是平面上一 定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足:,则P的

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