《实变函数与泛函分析》课程教学大纲

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1、读书时，我愿在每一个美好思想的面前停留，就像在每一条真理面前停留一样。——爱默生《实变函数与泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息　　课程代码：110047　　课程名称：实变函数与泛函分析　　英文名称：RealvariableanalysisAndFunctionalanalysis　　课程类别：专业基础课　　学时：50　　学　　分：3　　适用对象：信息与计算科学专业本科　　考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％　　先修课程：数学分析和高等代数　　二、课程简介　　中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研

2、究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。英文简介：RealvariableanalysisAndFunctionalanalysisisatheoretica

3、lcourseofmathematicswhichcanbeusedinvariablefieldssuchasengineeringandtechnology,physics,chemical,biology,economicandotherfields.TheeducationalaiminthiscourseistodeveloptheabilitiesofstudentsinanalyzingandsolvingpracticalproblembythespecialwaysofRealvariableanalysisAndFunction

4、alanalysis'thinkingandreasoning.三、课程性质与教学目的　　本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下：　　1.理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。　　2.

5、了解可测函数的概念，构造，以及函数列的收敛性质。　　3.了解Lebesgue积分的概念，掌握收敛定理。　　4.理解赋范线性空间和内积空间的相关知识点。　　5.理解线性算子理论和有界线性泛函理论，了解三个基本定理。四、教学内容及要求　　　第一章集合与测度（一）目的与要求1．使学生认识集族的交并关系，映射及其性质，集的对等，可数集合，度量空间的概念和度量空间中的点集，直线上的测度和可测集，Lebesgue测度及相关理论；2．本章要求学生了解集族的交并关系，了解度量空间的概念和测度及可测集的概念。（二）教学内容　　第一节集合与映射1．主要内容集族的交并关

6、系，映射及其性质，集的对等。2．基本概念和知识点集族的交并关系，映射，集的对等，可数集合。3．问题与应用（能力要求）　　了解集族的交并关系，理解映射，集的对等，可数集合。第二节度量空间1．主要内容　　度量空间的概念，度量空间中的点集。2．基本概念和知识点　　度量空间，收敛性，度量空间的拓扑。3．问题与应用（能力要求）理解度量空间的概念，理解度量空间的拓扑（包括了有关概念）。　　　第三节Lebesgue可测集1．主要内容直线上点集的构造，Cantor三分集，Lebesgue可测集及测度的相关性质。2．基本概念和知识点构造区间，Cantor三分集，Le

7、besgue可测集，型集和型集。3．问题与应用（能力要求）了解直线上点集的构造区间，熟悉Cantor三分集，了解Lebesgue可测集，型集和型集。（三）课后练习作业和思考题：第一节课后练习P19之1，2，3，6，8。第二节课后练习P20之9，11，13，14，16，17；抄题18-28。第三节课后练习P20之2932，36，37；抄题36，37。（四）教学方法与手段　　　　　　本章教学主要采用课堂讲授的方法。第二章可测函数（一）目的与要求要让学生理解简单函数和可测函数，了解可测函数的性质和构造，了解可测函数列的极限。（二）教学内容第一节简单函数与

8、可测函数1．主要内容简单函数，简单函数的表示和运算，可测函数，可测函数的判定。2．基本概念和知识点简单函数，可测函数。3．