高中数学必修三导学案 1.2、算法案例

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1、高中数学必修三导学案1.2算法案例洞口一中肖丹枫一．教学目标1．通过阅读了解中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。2．掌握几种重要的算法案例思想，学习时重算法的思想、轻算法和程序的构造。特别要注意算法实例和传统数学知识相结合的题目。二．教学重难点1.重点：理解辗转相除法与更相减损术的原理,会求两个数的最大公约数；理解秦九韶算法原理，会求一元多项式的值；会对一组数据按照一定的规则进行排序；理解进位制，能进行各种进位制之间的转化．2.难点：秦九韶算法求一元多项式的值及各种进位制之间的转化．3.重难点：理

2、解辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法原理、排序方法、进位制之间的转化方法．三、基础梳理1．求最大公约数（1）短除法求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。（2）穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。（3）辗转相除法辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面

3、的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数.辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：①输入两个正整数m和n；②求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中；③更新被除数和余数：m=n，n=r；④判断余数r是否为0。若余数为0，则输出结果；否则转向第②步继续循环执行。如此循环，直到得到结果为止。（4）更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。11在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求

4、其等也，以等数约之。更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.步骤：Ⅰ．任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。2．秦九韶算法秦九韶算法的一般规则：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…

5、.+a1x+a0的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x=x0时的函数值，可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求v0=anv1=anx+an－1v2=v1x+an－2……..vk=vk-1x+an－k……..vn=vn－1x+a0观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时要用到vk－1的值，若令v0=an。我们可以得到下面的递推公式：v0=an，vk=vk－1+an－k(k=1,2,…n).这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。3

6、．进位制（1）概念进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：，而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,

7、34(5)表示5进制数。（2）进位制间的转换11关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：第一步：从左到右依次取出k进制数各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，

8、每次递减1，递减到0，即；第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数。Ⅰ.十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”。Ⅱ.非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。教