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《透视投影(perspective_projection)变换推导》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、透视投影是3D固定流水线的重要组成部分，是将相机空间中的点从视锥体(frustum)变换到规则观察体(CanonicalViewVolume)中，待裁剪完毕后进行透视除法的行为。在算法中它是通过透视矩阵乘法和透视除法两步完成的。透视投影变换是令很多刚刚进入3D图形领域的开发人员感到迷惑乃至神秘的一个图形技术。其中的理解困难在于步骤繁琐，对一些基础知识过分依赖，一旦对它们中的任何地方感到陌生，立刻导致理解停止不前。没错，主流的3DAPIs如OpenGL、D3D的确把具体的透视投影细节封装起来，比如gluPers
2、pective(…)就可以根据输入生成一个透视投影矩阵。而且在大多数情况下不需要了解具体的内幕算法也可以完成任务。但是你不觉得，如果想要成为一个职业的图形程序员或游戏开发者，就应该真正降伏透视投影这个家伙么？我们先从必需的基础知识着手，一步一步深入下去（这些知识在很多地方可以单独找到，但我从来没有在同一个地方全部找到，但是你现在找到了）。我们首先介绍两个必须掌握的知识。有了它们，我们才不至于在理解透视投影变换的过程中迷失方向（这里会使用到向量几何、矩阵的部分知识，如果你对此不是很熟悉，可以参考可以找到一组坐标
3、(v1,v2,v3)，使得v=v1a+v2b+v3c（1）而对于一个点p，则可以找到一组坐标（p1,p2,p3），使得p–o=p1a+p2b+p3c（2）从上面对向量和点的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个点（如p），我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移，即一个向量——p–o（有的书中把这样的向量叫做位置向量——起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p:p=o+p1a+p2b+p3c(3)(1)(3)是坐标系下表达一个向量和点的不同表达方式。这里可以看
4、出，虽然都是用代数分量的形式表达向量和点，但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达(1,4,7)，谁知道它是个向量还是个点！我们现在把（1）（3）写成矩阵的形式：这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：3D向量的第4个代数分量是0，而3D点的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时
5、也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”——F.S.Hill,JR这样，上面的(1,4,7)如果写成（1,4,7,0），它就是个向量；如果是(1,4,7,1)，它就是个点。下面是如何在普通坐标(OrdinaryCoordinate)和齐次坐标(HomogeneousCoordinate)之间进行转换：从普通坐标转换成齐次坐标时，如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)从齐次坐标转换成普通坐标时，如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y
6、,z);如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知，对于平移T、旋转R、缩放S这3个最常见的仿射变换，平移变换只对于点才有意义，因为普通向量没有位置概念，只有大小和方向，这可以通过下面的式子清楚地看出：而旋转和缩放对于向量和点都有意义，你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以看出，齐次坐标用于仿射变换非常方便。此外，对于一个普通坐标的点P=(Px,Py,Pz)，有对应的一族齐次坐标(wPx,wPy,wPz,w)，其中w不等于零。比
7、如，P(1,4,7)的齐次坐标有(1,4,7,1)、（2,8,14,2）、（-0.1,-0.4,-0.7,-0.1）等等。因此，如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给x,y,z乘上同一个非零数w，然后增加第4个分量w；如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，把前三个坐标同时除以第4个坐标，然后去掉第4个分量。由于齐次坐标使用了4个分量来表达3D概念，使得平移变换可以使用矩阵进行，从而如F.S.Hill,JR所说，仿射（线性）变换的进行更加方便。由于图形硬件已经普遍地支持齐次坐标与矩阵乘法，因此更加促进了齐次坐标使用
8、，使得它似乎成为图形学中的一个标准。简单的线性插值这是在图形学中普遍使用的基本技巧，我们在很多地方都会用到，比如2D位图的放大、缩小，Tweening变换，以及我们即将看到的透视投影变换等等。基本思想是：给一个x属于[a,b]，找到y属于[c,d]，使得x与a的距离比上ab长度所得到的比例，等于y与c的距离比上cd长度所得到的比例，用数学表达式描述很容易理解：这样，从a到b的每一个点都与c到d上的唯
