从shannon信息论到广义信息论

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1、从Shannon信息论到广义信息论鲁晨光--摘自《投资组合的熵理论和信息价值》(科大出版社1997) 本章先简单地介绍Shannon信息理论，然后将通信优化和编码优化作一比较——笔者以为这是很有趣的。本章后面的鲁氏广义信息论来自笔者的专著《广义信息论》[4]，但是严格说来，笔者的广义信息理论还应该包含下一章的基于增值熵的信息价值理论。之所以加上“鲁氏”二字是因为广义信息理论有多种，不加有暗中兜售私货或“篡位”之嫌。1.1            Shannon信息论简介1948年，美国工程师Shannon在贝尔实验室杂志上发表

2、了长文《通信的数学理论》[7]，这篇文章标志着Shannon信息论或者说经典信息论的诞生。经典信息论的诞生有两个来源，一是来源于物理学的熵理论。Boltzmann在讨论熵问题时就说过：熵是对失去的信息的度量。信息论中的熵H(X)和Boltzmann熵S存在某种等价关系(见《广义信息论》6.1节)。这说明了两者有血缘关系。信息论的另一个来源是早期人们对电报通信的研究。自16世纪，Gilbert等人就研究了电报电码问题，这一研究的著名产物是Mouse电报电码。使用该电码可以用较少的电报符号传递较长的电文。而Shannon熵正反映

3、了使用最优方式编码时，平均每个文字需要的最短码长。Shannon通信模型如图1所示。图 1 Shannon通信模型有时我们把编译码部分和噪声并入信道，则通信模型简化为信源®信道®信宿我们用取值于A={x1，x2，...}中的随机变量X表示信源文字，用取值于B={y1，y2，...}中的随机变量Y表示信宿文字，于是信源和信宿可以被抽象为概率分布函数P(X)和P(Y)，而信道可以被抽象为条件概率分布函数P(Y

4、X)。信源的熵是(9.1.1)Y提供的关于X的平均信息量是给定Y时X的熵的减量，即(9.1.2)这就是著名的Shanno

5、n互信息公式；其中H(Y)是Y的熵，H(X

6、Y)是给定Y时的X的条件熵。给定Y=yj 时，I(X；Y)变为yj 提供的关于X的平均信息：         (9.1.3)上式也叫Kullback公式。后面将说明，如果把P(X

7、yj)理解为预测的可能性测度，则I(X；yj) 就是预测和事实一致时的平均信息。可以证明I(X；yj)必然大于0。Shannon 定义了两个重要函数：信道容量和保真度信息率。关于后者的理论后来又有所发展，并且保真度信息率被改称为信息率失真(informationrate—distortion)[27]。信

8、道容量和信息率失真分别是通信的数量和质量指标。如果把通信系统和生产系统相类比，则信道容量就相当于生产能力，而信息率失真就相当于给定产品质量要求时，单位产品所需要的最少劳动量。近50年来，以Shannon理论为核心的经典信息理论在编码、检测等方面取得了巨大成就；然而，它远不能解决信息领域实际遇到的数学问题。这些问题是：怎样度量一系列颜色或图像实际给予的信息？感觉分辨率怎样影响主观信息量？相似事件而不是随机事件提供的信息如何计算？信源和信道可变时信息量如何计算……怎样度量统计数字的信息和信息价值？怎样度量语言、预言(比如天气预报

9、)和谎言的信息和信息价值？将有不确定事件发生时，选择怎样的语句可以提供最多信息或信息价值？给定通信的主观效果和信息价值要求时，客观信息率或平均码长可能压缩到多少?把Shannon理论应用于日常生活会得出非常奇怪的结果，这可以用一个例子来说明：有两个气象台，关于是否下雨，一个总是正确预报，而另一个总是错报；而根据Shannon理论，两者提供的信息是一样的，因为Shannon理论只看概率，不看语义。关于Shannon理论的局限性，我们可以换一种说法：Shannon创立的经典信息论根本就不是关于我们日常所说的 “信息”的理论，它充

10、其量只是通信编码理论。但是Shannon信息和日常信息也不是没有联系，后面我们将证明，Shannon信息是日常信息的某种特例——假设收信者完全了解预测者预测规则时的特例。1.2            Shannon熵和Shannon互信息的 编码意义使用电报通信的早期，人们用长短不同的信号表示所要传递的字母A，B，C，……。设长短信号分别用0，1表示，则一个字母可用一个0-1码，比如001表示。后来发现，用较短的0-1 码表示经常出现的字母，比如E；而用较长的0-1码表示较少出现的字母，比如X；这样就能在传递相同电文的情况下

11、所用0-1码的总长度最短，或每个字母所用平均码长最短。然而，要想不失真地，即在H(X

12、Y)＝0的情况下，传递电报电文，平均码长最多能缩短到多少呢？Shannon理论告诉我们，这个平均码长的极限就是Shannon熵 (假设信源信号前后无关或者说信源是无记忆的)。通信系统中平均码长公式是