算法合集之《探索构造法解题模式》

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1、探索构造法解题模式【关键字】构造法数学模型【摘要】本文通过一些实例探讨构造法在信息学竞赛解题中的应用，首先阐述了数学方法在解题中的巧妙应用，引进了数学建模的思想。较详细地讨论建立模型的方法，包括直接构造问题解答的模型，图论模型，网络流模型以及组合数学模型。介绍了构建模型的基本方法和基本思路。同时也分析了数学模型的类型和作用【正文】引言“构造法”解题，就是构造数学模型解决问题。信息学竞赛中，它的应用十分广泛。构造恰当的模型或方法，能使问题的解决，变得非常简洁巧妙。就我们现在所能接触的问题而言，构造的数学模型，从数学方法的分类来看，它是属初等模型、优化模型这两种。一般地，数学模型具有三

2、大功能：1．解释功能：就是用数学模型说明事物发生的原因；2．判断功能：用数学模型判断原来的知识，认识的可靠性。3．预见功能：利用数学模型的知识、规律和未来的发展，为人们的行为提供指导或参考。构造法解题的思路或步骤可以归纳为：检验、修改问题假设建模分析实现本文的目的，在于利用构造数学模型的思想，构建我们对问题的解法。数学的巧妙应用数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性，而且在于它应用的广泛性。我们讲数学方法是指把错综复杂的问题简化、抽象为合理的数学结构的方法。我们以具体的问题为例析，解释这些观点的应用，通过这些问题展示了

3、数学的奇妙作用，让我们体会利用数学方法来解决问题时的一种乐趣。〖问题1〗跳棋问题设有一个n×n方格的棋盘，布满棋子。跳棋规则如下：1.每枚棋子跳动时，其相邻方格（有公共边的方格）必须有一枚棋子为垫子，才能起跳；2.棋子只能沿水平或垂直方向跳动；3.棋子跳过垫子进入同一方向的空格，并把垫子取出棋盘。把n×n方阵棋盘扩展成m×-13-m，试求出最小的m，使得棋子能依规则跳动，直到棋盘内只剩下一枚棋子，并给出一种跳棋方案。本题若用盲目搜索法解决，对n=4,5或许能行，但也要很高的费用。试用构造法求解。下面我们把n按除以3的余数进行分类讨论：A.n=3k（k∈N）我们把n×n的棋盘分成k×

4、k个3×3的网格，并重复排列这种3×3的网格，延伸至整个平面。每个3×3的网格按下列方式进行着色：123231312每次跳棋都是从3色中的两色跳至另一色。设每次跳棋跳至1、2、3色的次数分别为a、b、c次。不妨设最终剩下的一枚棋子是1色。可得：3k2+a–b–c=1①3k2–a+b–c=0②3k2–a–b+c=0③①–②，得2(a+b)=1，由于a,b都是整数，本式不成立。所以对于n=3k的情况，不可能最终只剩下一枚棋子。B.n=3k+2（k∈N）我们先从较小的n开始，研究是否有规律可循。同时为了对较大的n能得到解法的规律，我们构造几种基本形状的跳法。当n=2时，解法如下：我们把它

5、定义为基本形状A。(1)基本形状B-13-(2)基本形状C以上两种基本跳法告诉我们：对于任意的连续3个棋子，只要另有一个棋子辅助，就可以连续地消去3个棋子。有了这几种基本跳法，就可以开始构造本题的解答了。我们以n=8为例来说明。如下图所示，其中的正方形表示基本形状跳法A，竖形长条表示基本形状跳法C，横形长条表示基本形状跳法B。其跳法是：首先从左到右消去左上边的竖形长条，接着从上到下消去右上边的横形长条，最后从左到右顺序消去下边的正方形与竖形长条。A.n=3k+1（k∈N）类似于情况B，我们仍用基本跳法来构造解答。以n=7为例，从上到下，从左到右，逐个消去两种基本形状，最后剩下右下角

6、的一个刀把形，再独立完成。-13-观察上述过程可以发现，只需把原棋盘向四周扩展1行，变成(n+2)(n+2)即可。上题是构造法运用的一个典型例子。构造法不像搜索、动态规划等，有固定的模式可套用，而完全需要依据实际情况进行状态分析、构图分析对问题进行抽象性处理，这些，通常需要有良好的数学功底和创造性思维能力，严谨的科学精神。〖问题2〗圆桌吃饭问题n个人围着一张圆桌吃饭，每个人都不愿意两天与同一人为邻，问最多能坐多少天，并给出一种排列方案？为了清楚的理解问题的实质，我们以图的模型来描述它：设G=(V,E)为一完全图，

7、V

8、=n。图中的每个顶点代表一个人，连结顶点的边表示人之间的相邻关系

9、。因此，每种围绕圆桌的吃饭方案就成为图中的一条哈密尔顿回路。设L=为G中的一条哈密尔顿回路，其中所含的边的集合记为e(L)。试求m与L1,L2,…,Lm，使得e(Li)∩e(Lj)=φ，并且m达到最大值。为了求得m的最大值，我们可以先估算一下m上界。完全图G共有n(n-1)/2条边，每条哈密尔顿回路含有n条边，可见m的上界是(n-1)/2。当n为奇数时，m=(n-1)/2；当n为偶数时，m=n/2-1。那么这个上界是不是精确上界呢？如能构造出m