数列经典结论总结

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1、数列复习基本知识点1.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：（2）①定义法：为等差数列。②中项法：为等差数列。③通项公式法：（a,b为常数）为等差数列。④前n项和公式法：（A,B为常数）为等差数列。（2）等差数列的通项：或。公式变形为:.其中a=d,b=－d.如(1)等差数列中，，，则通项　　　　（答：）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：）（3）等差数列的前和：，。公式变形为：，其中A=，B=.（注意：已知n,d,,,中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”）如（1）数列中，，，前n项和，则＝＿，＝＿（答：，）；（2）已知

2、数列的前n项和，求数列的前项和（答：）.（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。3.等差数列的性质：5(1)项数成等差,则相应的项也成等差数列.即成等差.若、是等差数列，则、(、是非零常数)、、，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（答：225）（2）在等差数列中，当项数为偶数时，；；.项数为奇数时，；；。如（1）在等差数列中，S1

3、1＝22，则＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.（3）单调性：设d为等差数列的公差，则d>0是递增数列；d<0是递减数列；d=0是常数数列(4)若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：）(5)已知成等差数列，求的最值问题：①若,d<0且满足,则最大；②若,d>0且满足,则最小.“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多

4、少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。如（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项，5，则使前n项和成立的最大正整数n是（答：4006）4.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或。如（1）一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____（答：）；（2）等比数列的通项：或。如设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比.（答：，或2）（3）等比数列的前和：当时，；当时，。如（1）等比数列中，＝

5、2，S99=77，求（答：44）特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。（4）等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）提醒：（1）等比数列的通项公式及前项和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知

6、3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为…，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）6.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式：__________（答：）5⑵已知（即）求，用作差法：。如①已知的前项和满足，求（答：）；②数列满足，求（答：）⑶已知求，用作商法：。如数

7、列中，对所有的都有，则______（答：）⑷若求用累加法：。如已知数列满足，，则=________（答：）⑸已知求，用累乘法：。如已知数列中，，前项和，若，求（答：）⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。如①已知，求（答：）；②已知，求（答：）；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知，求（答：）；②已知数列满