新疆农业大学土力学与基础工程课后练习册答案(通用)

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1、第4章控制系统数字仿真数字仿真就是采用数学模型，在数字计算机上借助数值解法所进行的仿真实验。所谓数值解法，就是寻求y(t)在[a,b]区间内的一系列离散节点t1

2、数的微分方程能用到初等方法得其解析解（或用解析的方法得到精确解），多数只能用近似数值求解。利用计算机求微分方程主要使用数值积分法，它是系统仿真的一个重要方法。在这里，我们主要研究一阶微分方程的形式，如：（1），求y(t)解：121当t=tm+1，t0=tm时（2）数值积分法时在已知初值的情况下，对f(t,y)进行近似积分，从而对y(t)进行数值求解的方法。下面介绍几种在数字仿真常用的数字积分法。1.欧拉法欧拉法又称为折线法，是最简单，也是最早的一种数值计算方法。对于式（2），如果积分间隔h=tm+1-

3、tm取得足够小，使得在tm与tm+1之间的f(t,y)可近似看做常数f(tm,ym)。这样式（2）可化为：121即（3）（3）式即为欧拉公式。欧拉公式的几何解释：对于微分方程（1）的解y(t)看作是一条曲线，在任一步长内，用一段直线代替函数y(t)的曲线，此直线段得斜率等于该函数在步长起点的斜率。基于上述的几何解释，我们从初始点(t0,y0)出发向前推进(t1,y1)点，(t2,y2)点，…121…t0t1t2tm+1t0y0y1y2ym+1y…图中阴影部分即为误差。欧拉法的特点是：计算简单，但精度较

4、低。例：用欧拉法求解初值问题（），h=0.1。解：因为121则，该题解为：，将准确解y(tm)与近似解ym121一起放入下表，可得：tmymy(tm)tmymy(tm)0.11.10001.09540.21.19181.18320.31.27741.26490.41.35821.34160.51.43511.41420.61.50901.48320.71.58031.59420.81.64981.61250.91.71781.67331.01.78481.7321由此表可以看出欧拉公式的精度很差。2.

5、后退的欧拉法若用f(tm+1,ym+1)来代替f(tm,ym)，则（3）式可变为：（4）则（4）式称为后退的欧拉公式。121后退的欧拉公式是隐式的（因为（4）式右边的ym+1是未知的），此时通常需要用迭代法求解，即：（5）…t0t1t2tm+1t0y0y1y2ym+1y…后退的欧拉公式的几何解释：在任一步长内，用一段直线代替函数y(t)的曲线，此直线段得斜率等于该函数在步长终点的斜率。121例：用后退的欧拉法求解初值问题（），h=0.1。解：121后退的欧拉公式和欧拉公式的精度相同，都是一阶精度。12

6、13.梯形法比较欧拉公式和后退的欧拉公式可知，如果对这两种方法进行算术平均，即可大大消除主要误差，从而获得更大的精度，这种方法通常称为梯形法，其计算公式为：（6）同后退的欧拉公式一样，梯形公式也是隐式的。此时通常采用欧拉公式先预报一个，再将预报的代入（6）式进行校正，求出ym+1。梯形法的迭代公式为：121（7）（7）式又被称为预估-校正公式。显然，梯形法要比欧拉法和后退的欧拉法精度更高，但计算量比欧拉法大。例：用梯形法求解初值问题（），h=0.1。解：121121tmymy(tm)tmymy(tm)

7、0.11.09591.09540.21.18411.18320.31.26621.26490.41.34341.34160.51.41641.41420.61.48601.48320.71.55251.59420.81.61531.61250.91.67821.67331.01.73791.73211214.龙格库塔法则：我们把称作[tm,tm+1]上的平均斜率，由此可见，只要给平均斜率提供一种算法，便可导出一种计算公式。当θ=0时，平均斜率为f(tm,ym)，为欧拉公式；121当θ=1时，平均斜率为

8、f(tm+1,ym+1)，为后退的欧拉公式；若采用tm和tm+1两点斜率值的算术平均作为平均斜率，则平均斜率为，此时为梯形公式（精度更高）。这给我们启示，如果设法在[tm,tm+1]区间内多预测几个点的斜率值，然后将它们进行加权平均作为平均斜率，则可构造出精度更高的计算公式，这就是龙格库塔的基本思想。（1）二阶龙格库塔法随意考查区间[tm,tm+1]区间内一点：，用tm和tm+p两个点的斜率值K1，K2线性组合得到平均斜率，则121（8）因为：所以：12