镇海中学沈虎跃数学题及答案

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1、钱报私房题1．矩形ABCD中，AB=4，BC=6，在它的内部有P，Q两点，P到AB、BC的距离分别为a，b，Q到CD、AD都为1．现在P点放一小球，球在外力的作用下开始运动，经过矩形的边反射，假设在整个问题中，所涉及的反射都符合入射角等于反射角原理．图1表示了球从P点出发经BC边反射后经过Q点的线路，其中∠PMN=∠QMN．（1）在图1中画出球从P点出发经AD边反射后经过Q点的线路，并比较球从P点出发经BC边反射或是球从P点出发经AD边反射后通过Q点，哪一条线路短？（2）在图2中画出球从P点出发，先经BC边反射后至CD边，再经CD边反射后

2、经过Q点的线路，且问是否P点在矩形内的任意位置都可以实现这一线路，若不行，求出可行P点所在区域的面积？图1ABCDPNQM图2ABCDPQ2．四辆车A，B，C，D以各自的速度匀速行驶在同一条路上．A分别在8:00和9:00超过B和C，并在10:00与D相遇．D分别在12:00和14:00与B和C相遇．问：什么时间B超过C．3．一曲边矩形ABCD薄纸片，恰卷成一个斜截圆柱（A与D重合，B与C重合），如图4，5所示．图4图5若曲线AD为y=cosx，－π≤x≤π，则截交线为椭圆，请你求出此椭圆的离心率．4．如图8所示，a，b，c，d，e，f，

3、g，h，i，j是不同的正整数，每两个箭头所指的同一个数恰等于其箭尾两数之和．试求j的最小值．图85．A和B两人玩一个游戏，在游戏中，A赢得概率为，B赢得概率为，平局概率为．开始时，A身上有元钱，B身上有元钱．每一次比赛后，赢者从输者身上取走1元钱，A和B赞同比赛进行到某一方输光身上钱为止，求A赢得所有钱的概率．钱报私房题参考答案1．矩形ABCD中，AB=4，BC=6，在它的内部有P，Q两点，P到AB、BC的距离分别为a，b，Q到CD、AD都为1．现在P点放一小球，球在外力的作用下开始运动，经过矩形的边反射，假设在整个问题中，所涉及的反射都

4、符合入射角等于反射角原理．图1表示了球从P点出发经BC边反射后经过Q点的线路，其中∠PMN=∠QMN．（1）在图1中画出球从P点出发经AD边反射后经过Q点的线路，并比较球从P点出发经BC边反射或是球从P点出发经AD边反射后通过Q点，哪一条线路短？（2）在图2中画出球从P点出发，先经BC边反射后至CD边，再经CD边反射后经过Q点的线路，且问是否P点在矩形内的任意位置都可以实现这一线路，若不行，求出可行P点所在区域的面积？图1ABCDPNQM图2ABCDPQ解：（1）根据对称性作图，由于NQ=5–b>3+b＝MQ，故PF+FQ=P2Q>P1Q

5、=PE+EQ所以，经BC边反射线路更短．（2）根据对称性作图，并不是点P在矩形内的任意位置都可以实现这一线路．实现这一线路等价于P2Q与线段CD相交，即点P不在△CDG中．图2图1故可行P点所在区域的面积＝．2．四辆车A，B，C，D以各自的速度匀速行驶在同一条路上．A分别在8:00和9:00超过B和C，并在10:00与D相遇．D分别在12:00和14:00与B和C相遇．问：什么时间B超过C．图3解：画出4辆车的运动轨迹图（直线），把8:00看做运动的起始时间．假设在时刻超过．如图3，点是车相遇或者超过的相应点注意到和分别是、的中点，因此和

6、是的中线．这就意味着两条中线的交点，同时也对应超过的点，是这个三角形的重心．因此的横坐标是点的横坐标的算术平均值，即．因此超过．3．一曲边矩形ABCD薄纸片，恰卷成一个斜截圆柱（A与D重合，B与C重合），如图4，5所示．若曲线AD为y=cosx，－π≤x≤π，则截交线为椭圆，请你求出此椭圆的离心率．图4图5图6图7解：由于截交线为椭圆，故从图6中可知，此椭圆的长轴长为AM，短轴长为AF，这样焦距为MF．对照图6，图7中可知，AF=2，MF=2，故AM=．所以该椭圆的离心率为．4．如图8所示，a，b，c，d，e，f，g，h，i，j是不同的正

7、整数，每两个箭头所指的同一个数恰等于其箭尾两数之和．试求j的最小值．图8解：j的最小值为20．由于j=a+3b+3c+d=a+b+c+d+2b+2c≥1+2+3+4+2b+2c=10+2(b+c)．图9讨论{b,c}={1,2}或{1,3}，发现均不符合题意，这样j≥10+2×5≥20．而当a=4，b=1，c=2，d=7时，j=20，如图9．所以，j的最小值为20．5．A和B两人玩一个游戏，在游戏中，A赢得概率为，B赢得概率为，平局概率为．开始时，A身上有元钱，B身上有元钱．每一次比赛后，赢者从输者身上取走1元钱，A和B赞同比赛进行到某一

8、方输光身上钱为止，求A赢得所有钱的概率．解：设为总的钱数，m为变量．设P(m)表示A身上带有m元时赢得所有钱的概率，则．假定A开始时身上带有k元，第一次比赛，A可能赢，输或者平局三种情况，若A