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《数学高考总复习:三角函数的化简与求值经典例题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、经典例题精析类型一:角的相关概念 1.若在第三象限,则角在__________象限,在__________象限. 思路点拨:要判断角所在象限,只须化成“k·360°+n°”或“2kπ+α”(k∈Z)的形式即可,其中0≤n<360或-180<n≤180,0≤α<2π或-π<α≤π.为了凑出2π的整数倍,需要对整数进行分类,如k=2n,k=2n+1或者k=3n,k=3n+1,k=3n-1等等. 方法一: ①∵在第三象限,即,k∈Z ∴,k∈Z 当k=2n时,,n∈Z ∴在第二象限, 当k=2n+1时,,n∈Z ∴在第四象限, ∴可能在第
2、二或第四象限. ②∵,k∈Z,∴,k∈Z. 当k=3n时,,k∈Z ∴在第一象限. 当k=3n+1时,,k∈Z. ∴在第三象限. 当k=3n-1时,,k∈Z. ∴在第四象限. ∴可能在第一、三、或四象限. 方法二: 由图知:的终边落在二,四象限;的终边落在一,三,四象限。 总结升华: (1)确定角所在的象限是确定函数值符号的关键,故必须掌握由已知角的范围,求与有运算关系 的角的范围. (2)确定“分角”所在象限的方法:若是第k(1、2、3、4)象限的角,利用单位圆判断, ()是第几象限角的
3、方法:把单位圆上每个象限的圆弧n等份,并从x正半轴开始,沿逆时针 方向依次在每个区域标上1、2、3、4,再循环,直到填满为止,则有标号k的区域就是角 ()终边所在的范围。如:k=2,如下图中标有号码2的区域就是终边所在位置. 举一反三: 【变式1】试确定下列角的终边分别在哪些象限? ①;②;③. 【答案】∵,, ∴的终边在第一象限; 的终边在第二象限; 的终边在第四象限. 【变式2】设,角5与角终边相同,求。 【答案】由条件有:,即: ∵ ∴k=1时,;
4、 k=2时,; k=3时,. 【变式3】若A={x
5、x=,k∈Z},B={x
6、x=+,k∈Z},则A_____B。 【答案】由B中的x=+=,可视为的奇数倍所构成的集合。 而A中的x=是的所有整数倍,因此BA。类型二:任意角的三角函数 2.若,则角在__________象限。 思路点拨:首先确定与的符号,再判断所在的象限,或者先化简关系式再确定的范围,或者用特殊值(各个象限各取一个)来判断所在的象限。 方法一:由知(1)或(2) 由(1)知在第一象限,由(2)知在第三象限, 所以在第一或第三象限。 方法二
7、:由有, 所以, 即 当k=2n(n∈Z)时,为第一象限,当k=2n+1(n∈Z)时,为第三象限 故为第一或第三象限。 方法三:分别令,代入, 只有、满足条件, 所以为第一或第三象限。 总结升华:角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定,方法三只能用于选择题或填空题. 举一反三: 【变式1】确定的符号。 【答案】因为-3,5,1分别是第三,四,一象限的角, 所以,,, 所以原式小于零. 【变式2】已知,,则是第__________象限角. 【答案】∵,∴,,则是第二象限角
8、. 【变式3】若,判断的符号。 【答案】依题设有:,∴. 故在第二或第四象限. ①若在第二象限,则0<sinα<1,-1<cosα<0. ∴cos(sinα)>0,sin(cosα)<0. ∴原式<0。 ②若在第四象限,则-1<sinα<0,0<cosα<1, ∴cos(sinα)>0,sin(cosα)>0, ∴原式>0。 【变式4】已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π)内α的取值范围是()。 A、 B、 C、 D、 【答案】由题
9、设,有 在[0,2π)的范围内,在同一坐标系中作出y=sinx和y=cosx的图像, 可知α∈时,, ∴,选B. 3.已知角的终边上一点,且,求、的值。 思路点拨:根据三角函数定义列方程求出的值,再求解. 解析:由题设知,所以,得, 从而,解得或 当时,,,∴,; 当时,,,∴,; 当时,,,∴,. 举一反三: 【变式1】已知角的终边过点,求、、的值 【答案】 (1)当时,,∴,,; (2)当时,,∴,,. 【变式2】已知角终边在直线上,用三角函数定义求和的值 【答案
10、】 (1