数学教育毕业论文（设计）-浅谈导数在中学数学中的应用

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1、宁德师范学院毕业论文(设计)专　　业数学教育指导教师学　　生学　　号题目浅谈导数在中学数学中的应用　　　　　　　　　　2012年5月27日浅谈导数在中学数学中的应用沈茗（宁德师范学院数学系09级数学教育（2）班福建宁德352100）摘要：主要对导数在中学数学中几方面的应用进行初步的归纳与总结.介绍导数在解决函数、几何、证明恒等式和不等式等方面的应用.关键词：导数不等式极值函数导数的引出和定义对函数影响颇为甚大，它是函数知识的继续与延伸，是解决数学问题的重要工具，是中学与大学数学知识的重要衔接.有利于学生更好地理解函数的性质，有利于学生更好地掌握函数思想，有利于学生弄清曲线的切线问题，有利

2、于学生学好其他学科，有利于发展学生的思维能力.新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具.函数是贯穿着高中数学课程中的主线之一，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法.导数的引入突破了中学数学思想上的约束，拓宽、优化和丰富了许多数学问题的解决的思路、方法和技巧.近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题.许多人认为,大学里学习的数学分析对今后我们的从教没有任何帮助,但错了，事实上数学分析中的观点思想不但可以加深对中

3、学数学课本中概念的理解和问题的深入研究,也可以提高教师自身的教学水平.在微积分这一章中,可以透彻地学习导数的由来、概念、几何意义.导数在中学数学里内容虽然不多,但应用广泛.本人在此对导数在中学中的应用作个初步探究.有关导数在中学中的应用主要有：研究函数的单调性，求函数的极值和最值，利用导数解决实际某些实际问题，求函数的切线，利用函数的单调性证明不等式.1导数在函数方面的应用1.1求函数单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数中需要掌握的最基本的知识.一般可用定义来判断，但在函数表达式比较复杂的情况下判断正负是比较困难的.函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数

4、单调性时，结合导数的几何意义，只需求出，再考虑的正负即可.此方法比用定义判断的方法来得简单快捷而且适用面广.例1已知函数恰有三个单调区间，试确定实数的取值范围，并求出这三个单调区间.分析这是利用函数在某个区间内，函数的导数,则函数单调递增；函数在某个区间内，函数的导数，则函数单调递减.解该函数的定义域是R对该函数求导得令当时，方程无解，此时恒成立，所以为增函数，与已知有三个单调区间矛盾.当时，由，得.则函数有三个单调区间：，，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减.综上，当时，函数有三个单调区间：和为单调递减区间，为单调递增区间.1.2求函数的极值和最值在高中数学中求函数的极值和最值

5、问题是一个重点，也是一个难点.我们学习过很多的方法来求解但一涉及到了比较复杂的函数方程我们就求起来比较困难了.但是若用导数解决这类问题使解题，过程变得简化多了，思路也清晰，学生易掌握.例2已知函数的极值，并在区间内讨论其最大值、最小值.分析对于求较为复杂的函数的最值，可先求函数的导数从中求出驻点，通过比较驻点与端点的函数值的大小从而求出最值.解法一对该函数求导得令求得驻点，得下表0-0+0-0+08单调递减极小值为-1单调递增极小值为0单调递减极小值为-1单调递增8表1由表1知函数的极小值为，极大值比较端点函数值与极值的大小，得函数在区间内，，分析对于求较为复杂的函数的最值，可通过求函数

6、的一阶导数得出驻点，再通过求驻点的二阶导的函数值的正负得出最值.解法二对函数求导得，令求得驻点，在处取得极大值，在处取得极小值在区间，，函数在区间内，，1.3对数列求和数列也是高中数学中的重要部分之一.数列求和是中学阶段数列部分的一个重要内容，也有不少的初等方法可以解决它.事实上若将数列看作是自变量为正整数的特殊的函数，就可以导出数列与函数之间的关系，然后再运用导数就可以解决数列求和的有关问题.例3求和：分析通过观察，利用==令求和即可.解因为=令得,所以=2导数在证明恒等式与不等式方面的应用纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点.利用导数

7、证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，即利用导数可以判断函数的单调性和最值，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构建辅助函数并确定所构建的辅助函数的单调性或最值，就不难解决不同点的函数值的大小的比较问题，所以可以利用导数去解决某些不等式的证明问题.关于不等式的证明过去曾用初等方法解决过，但是有些不等式的证明很难用初等方法解答，而用导数的方法证明却很简单.例4求证，.分析要证明一个一元函数式恒于一个常数，只要证明该函数的