索道工程缆绳总长度的数学模型

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1、索道工程缆绳总长度的数学模型摘要本文所要解决的是估算旅游景点索道工程所用缆绳总长度的问题，现某旅游景点的缆车索道采用循环单线式修建，缆绳悬挂在下站到上站的行程中的8个铁塔上，所以关键是估算出各段缆绳的长度，为解决此问题，我们分别用折线法和抛物线法建立了两个模型。模型一：折线法。缆车索道行程中共有8个塔，所以从下站到上站总共分为九段，每一段理想化，将每一段缆绳下垂的最低点看成折点，每段缆绳的长度用勾股定理就可以求出。假设缆绳各段的长度为，总长度为，通过计算得：=1519.9535，问题解决。模型二：抛物线法。根据缆车索道的实际情况，把下站到第一铁塔之间、铁塔与铁塔之间、铁塔与上站之

2、间的缆绳形状看成是抛物线，以抛物线的最低点为原点建立直角坐标系，通过计算机拟合，每段抛物线方程为，每段缆绳的长度记为，则运用曲线积分公式，通过计算得缆绳总长度大致为=1536.9452，问题解决。关键词：缆绳长度下垂最低点计算机拟合曲线积分公式10问题重述某旅游景点从山脚到山顶有一缆车索道，全长约1471m，高差为380m，采用循环单线式修建。缆绳悬挂在下站到上站的行程中的8个铁塔上，这8个铁塔依山势走向而距离不等，从下站到第一铁塔的水平距离为，高差为；从第一铁塔到第二铁塔的水平距离为，高差为，……,，从第8个铁塔到上站的水平距离为，高差为，具体数据如表5.3所示。表5.3220

3、200140120100120140200220504540383438404550每一段缆绳下垂的最低点不低于两端铁塔最低塔顶悬绳处1m，试估算整个索道工程所用的缆绳总长度。模型假设与符号说明1.模型假设假设一：假设题中所给数据是正确、合理的。假设二：假设索道缆绳质量分布均匀。假设三：假设每段缆绳下垂的最低点为两端铁塔最低塔顶悬绳处1m。2.符号说明表1.符号符号说明M索道总长H山脚到山顶的高差10下站到第一个铁塔的水平距离第i个铁塔到第i+1个铁塔的水平距离，第8个铁塔到上站的水平距离下站到第一个铁塔的高差第i个铁塔到第i+1个铁塔的高差，第8个铁塔到上站的高差在折线法模型下

4、，各段缆绳的长度，L在折线法模型下，缆绳的总长度第i个铁塔距离缆绳下垂的最低点的水平距离，在抛物线模型下，各段缆绳的长度，S在抛物线模型下，缆绳的总长度问题分析由于缆车索道采用循环单线式修建，缆绳具有韧性，缆车通过定滑轮固定在缆绳上，缆车位置不同时两塔之间缆绳形状也有所不同。模型一分析：把缆绳形状理想化，两相邻塔顶之间的各段缆绳形状看成是折线，缆绳下垂的最低点为折点，以折点为原点建立直角坐标系，利用勾股定理计算每段折线的长度，则每段缆绳的长度为两段折线的长度之和，缆绳的总长度为各段缆绳长度的总和。模型二分析：联系实际，两相邻塔顶之间的各段缆绳形状类似于抛物线，以缆绳下垂的最低点为

5、原点建立直角坐标系，利用曲线积分计算每段抛物线的长度，则每段缆绳的长度为抛物线的长度，缆绳的总长度为各段缆绳长度的总和。10建立模型模型一：各段缆绳形状看成是折线，缆绳下垂的最低点为折点。第一段缆绳为折线，直接用勾股定理有：。第二段到第九段：建立直角坐标系，如图1。运用距离公式求取1的长度。设A,B得到：，理想化求出它的值。所以有：则缆绳总长度。yB1mAZx图1折线模型10模型二：各段缆绳形状看成抛物线，抛物线方程为，缆绳下垂的最低点为原点，建立直角坐标系，如图2所示：第一段：设最低点为缆绳出发点，则第一个塔顶坐标为（220,51），将其带入方程即可解出，再运用曲线积分公式，求

6、出第一段缆绳长为。第二段：设较低铁塔的坐标为，较高铁塔为，将其带入方程即可解出，再运用曲线积分公式，求出第二段缆绳长为。第三段到第九段同第二段类似，第个铁塔与第个铁塔之间的缆绳，设较低铁塔的坐标为，较高铁塔为，将其带入方程即可解出，再运用曲线积分公式，求出每段缆绳长为。所以有：所以，缆绳总长为10yxO图2抛物线模型模型求解模型一:运用Matlab求解，得：第一段：解得：=225.6103第二段：解得：第三段到第九段算法与第二段相同，可以求得结果为表2总长度L225.6103206.2219146.8801127.1785106.9482127.1785146.8801206.2

7、219226.83401519.953510所以，缆绳总长度为m模型二：运用Matlab求解，得：第一段:解得：第二段：解得：第三段到第九段运算类似，解得：10所以，缆绳总长度为：m模型评价优点：1、模型一计算简单，能够迅速地估算出缆绳总长度，节约时间；2、模型二更加符合实际，所以计算结果更加接近缆绳实际总长度，减少了误差，提高了估算精确度。缺点：1、模型一太过理想化，有点不合实际，与缆绳实际长度误差较大，不太合适；2、模型二计算稍微复杂，耗时。参考文献[1]同济大学应用数学系.