图论 第3章 连通度、匹配

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1、第三章连通度、匹配本章的特点：（1）理论深；（2）本科基本用不上（计算机体系结构上用到一点），只有研究生才能用上；（3）只介绍这个领域最基本的概念和一些有用的结果。一个图是否是连通的，这是图的一个重要性质。内容：本章首先引入图的顶点连通度和边连通度，由此可以比较两个图中哪个“更加连通”；接着讨论了它们的一些简单性质；然后讨论偶图的匹配问题。第一节顶点连通度和边连通度1.1动机和目的一个图是否是连通的，是图的一个重要性质。于是，我们就想来刻画两个图“连通程度”的大小，但是刻画两个图“连通程度”的大小方法很多，我们只介绍两个常用的方法：顶点连通度和边连通度例：树的每个度大于1的顶点

2、都是割点。一个具有割点的连通图，当去掉这个割点时，就产生了一个不连通图。对于一个没有割点的连通图，必须去掉多于一个顶点才有可能得到一个不连通图。于是，具有割点的连通图较之没有割点的连通图的“连通程度”要低。类似地，树的每条边的都是桥。有桥的连通图，当去掉桥时，就产生了一个不连通图。对于无桥的连通图，要想去掉一些边得到不连通图，至少要去掉两条才有可能得到不连通图。从去掉边来获得不连通图的角度看，有桥的连通图较之无桥的连通图的“连通程度”要低。特别是，一个非平凡树是一个有最少边连通图。图的顶点和边，在不同应用中有不同意义。在通讯网络中，通讯站是顶点，通讯线路是边。它们的失灵势必危机

3、系统的通讯。所以，网络图的“连通程度”越高，通讯网络越可靠。这种直观的想法，启发我们建立以下的严格概念：1.2顶点连通度（连通度）定义1设G=(V，E)是一个无向图，要想从G中得到一个不连通图或平凡图所需要从G中去掉的最少顶点数称为G的顶点连通度，简称连通度。记为。说明：（1）对这个定义我们需要说明的是，希望每个图都有顶点连通度。但对完全图Kp，不论去掉哪些顶点，都不会得到不连通图，当去掉p-1个顶点时得到K1-平凡图。为了使这样的连通图也有顶点连通度，所以在定义中加入了“为得到平凡图所需要去掉的顶点的最少数”这一条件。（2）对于特殊的图顶点连通度是知道的。K1-平凡图；有割点

4、的图；不连通的图；完全图Kp。推论1：若G连通，则；若，则G连通或是非平凡图。定义2设G=(V，E)是一个无向图，要想从G中得到一个不连通图或平凡图所需要从G中去掉的最少边数称为G的边连通度，简称连通度。记为。对于特殊的图边连通度是知道的。；当p≥1时，；非平凡树；有桥的图。说明：（1）对于连通图来说，边连通度就是割集中最小的那个。（2）对于一个图来说，割集--可以有多个，但边连通度--却只有一个。（3）对于非平凡图来说，割集--永远也不能为零（空集），但边连通度--在图不连通时却是零。（4）连通度与割集的联系和区别？---自己综合。1.3顶点连通度、边连通度、最小度之间有以下

5、的关系：定理1对任一图G，有证先证λ(G)≤δ(G)，若δ(G)=0，则G不连通，从而λ(G)=0。所以，这时λ(G)≤δ(G)；若δ(G)>0，不妨设degu=δ(G)，从G中去掉与v关联的δ(G)条边后，得到的图中v是弧立顶点。所以，这时λ(G)≤δ(G)。因此，对任何图G有λ(G)≤δ(G)。其次，证明对任何图G有χ(G)≤λ(G)。若G是不连通的或平凡图，则显然有χ(G)≤λ(G)=0；今设G是连通的且非平凡的。若G有桥x，则去掉x的某个端点就得到一个不连通图或平凡图，从而χ(G)=1=λ(G)。所以，这时有χ(G)≤λ(G)；若G没有桥，则λ(G)≥2。于是，从G中去

6、掉某些λ(G)边得到一个不连通图。这时从G中去掉这λ(G)条边的每一条的某个端点后，至少去掉了这λ(G)条边。于是，产生了一个不连通图或平凡图，从而χ(G)≤λ(G)。因此，对任何G，χ(G)≤λ(G)。定理2对任何整数a，b，c，0≤a≤b≤c，存在一个图G使得,,。证若a=b=c，则图G=Ka+1就是所要求的图。若a=b

7、的每个顶点与Kb-a+1的每个顶点间联一条边而得到的图。若a0，则存在V的真子集A，使得G中联结A中的一个顶点与VA中一个顶点的边的总数恰为λ(G).证因为λ(G)>0，所以G中有