ch8空间解析几何与向量代数

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1、知识点六向量的运算内容：1．空间坐标系（1）点的坐标与位置（2）两点间距离公式：2．向量的线性运算（略）方向余弦：（1）（2）向量的单位余弦构成的向量是同方向的单位向量，即3．向量的数量积（点积、内积）（1）数量积的定义计算式：（2）数量积的坐标计算式：（3）数量积的两个性质：（a）(b)（4）两向量的夹角：（5）向量的数量积的物理意义：恒力对直线运动物体的做功4．向量的向量积（叉积、外积）（1）向量积的定义计算：（a）方向：右手法则（b）大小：（2）向量积的坐标计算：（3）向量积的性质：（a）(b)（c）5．

2、向量的混合积（1）计算公式：（2）意义：向量、、共面典型例题1.设在轴上，它到的距离为到点的距离的两倍，求点的坐标.解：因为在轴上，设P点坐标为，，所求点为。2．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？，，，。解：四，八，七，三。3.已知，，求（1）；（2）与的夹角；（3）在上的投影.解：（1）（2），。（3）4．求与，都垂直的单位向量。解：，典型练习1．关于平面对称的点是，关于平面对称的点是，关于平面对称的点是，关于轴对称的点是，关于轴对称的点是，关于轴对称的点是，2．点在平面上的射影点为___,在面上的

3、射影点为________，在轴上的射影点为________，在轴上的射影点为_______，在轴上的射影点为______，在轴上的射影点为______3.已知三角形的三个顶点，，，则过点的中线长为__________;4．在面上，求与三个已知点，和等距离的点。5．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形6．设，，求以向量为边的平行四边形的对角线的长度.7．设，问与怎样的关系能使行与轴垂直？8．已知两两垂直，且，求的长度与它和的夹角。9．计算以向量和为边的三角形的面积，其中和是相互垂直的单位向量。知识点

4、七曲面方程内容：1.空间曲面的方程：，或2．旋转曲面方程：坐标面上的曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为：，绕轴旋转一周的旋转曲面方程为：。同理：坐标面上的曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为：，绕轴旋转一周的旋转曲面方程为：。坐标面上的曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为：，绕轴旋转一周的旋转曲面方程为：。3．柱面方程：特征——缺项：缺哪一变量，柱面的母线平行于哪个轴。例：：方程中缺——母线平行于轴的椭圆柱面；：方程中缺——母线平行于轴的双曲柱面；：方程中缺——母线平行于轴的抛物柱面。4．二次曲面：（1）椭球面当中有两个

5、相等时，如，为旋转椭球面当时，如，为圆球面（2）椭圆锥面（3）单叶双曲面（有不同形式的变化）（4）双叶双曲面（有不同形式的变化）（5）椭圆抛物面（6）双曲抛物面加上椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，二次曲面共九种一般形式。典型例题1．球面：的球心是点___________，半径__________；2．方程在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面（柱面）；方程在平面解析几何中表示圆，在空间解析几何中表示圆柱面。3．设曲面方程++，当时，曲面可由面上曲线绕轴旋转面成，或由面上以曲线绕轴旋转面成。典型练习1.

6、与轴和点等距离的点的轨迹方程是_____________；2.以点为球心，且通过坐标原点的球面方程是_______________；3.曲面是由曲线______________绕_____轴旋转一周所形成的；4.曲面与平面的交线是_____；5.通过曲线,，且母线平行于轴的柱面方程是____________；知识点八空间曲线内容：1．空间曲线的方程：（1）一般方程（两空间曲面的交线）：（2）参数方程2．空间曲线在坐标平面上的投影曲线的求法：（以空间曲线在平面上投影为例）（1）曲线方程消掉参数，得；（2）曲线在坐

7、标平面上的投影曲线为典型例题1．求抛物面与平面的交线在三个坐标面上的投影曲线方程。解：交线方程为。消去，得在平面上的投影：；消去，得在平面上的投影：；消去，得在平面上的投影：。2．设一个立体由上半球面和锥面所围成，求它在平面上的投影。解：实心立体的投影，应是最外端曲线（两曲面交线）在平面上的投影。半球面和锥面的交线为：消去，得投影柱面，则交线在平面上的投影为，所以立体在平面上的投影为典型练习1.曲线在平面上的投影方程是_______________；2.方程组在平面解析几何中表示____________，在空间

8、解析几何中表示_______________；3.旋转抛物面()在面的投影为__________；在面的投影为____________；在面上的投影为__________。4.求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。5.求由上半球面,柱面及平面所围成的立体，在面和面上的投影.知识点九平面方程内容：1．平面的法向量：2．平面的方程：3．特殊位置的平面方程：（1）过原点的平面：，（