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时间:2018-07-15
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1、七桥问题(一笔画问题)沿着俄国和波兰的边界,有一条长长的布格河。这条河流经俄国的古城康尼斯堡——它就是今天俄罗斯西北边界城市加里宁格勒。 布格河横贯康尼斯堡城区,它有两条支流,一条称新河,另一条叫旧河,两河在城中心会合后,成为一条主流,叫做大河。在新旧两河与大河之间,夹着一块岛形地带,这里是城市的繁华地区。全城分为北、东、南、岛四个区,各区之间共有七座桥梁联系着。 人们长期生活在河畔、岛上,来往于七桥之间。有人提出这样一个问题:能不能一次走遍所有的七座桥,而每座桥只准经过一次?问题提出后,很多人对此很感兴趣
2、,纷纷进行试验,但在相当长的时间里,始终未能解决。最后,人们只好把这个问题向俄国科学院院士欧拉提出,请他帮助解决。 公元1737年,欧拉接到了“七桥问题”,当时他三十岁。他心里想:先试试看吧。他从中间的岛区出发,经过一号桥到达北区,又从二号桥回到岛区,过四号桥进入东区,再经五号桥到达南区,然后过六号桥回到岛区。现在,只剩下三号和七号两座桥没有通过了。显然,从岛区要过三号桥,只有先过一号、二号或四号桥,但这三座桥都走过了。这种走法宣告失败。欧拉又换了一种走法: 岛东北岛南岛北 这种走法还是不行,因为五号桥还
3、没有走过。 欧拉连试了好几种走法都不行,这问题可真不简单!他算了一下,走法很多,共有 7×6×5×4×3×2×1=5040(种)。第5页共5页 好家伙,这样一种方法,一种方法试下去,要试到哪一天,才能得出答案呢?他想:不能这样呆笨地试下去,得想别的方法。 聪明的欧拉终于想出一个巧妙的办法。他用A代表岛区、B、C、D分别代表北、东、西三区,并用曲线弧或直线段表示七座桥,这样一来,七座桥的问题,就转变为数学分支“图论”中的一个一笔画问题,即能不能一笔头不重复地画出上面的这个图形。 欧拉集中精力研究了这个图
4、形,发现中间每经过一点,总有画到那一点的一条线和从那一点画出来的一条线。这就是说,除起点和终点以外,经过中间各点的线必然是偶数。像上面这个图,因为是一个封闭的曲线,因此,经过所有点的线都必须是偶数才行。而这个图中,经过A点的线有五条,经过B、C、D三点的线都是三条,没有一个是偶数,从而说明,无论从那一点出发,最后总有一条线没有画到,也就是有一座桥没有走到。欧拉终于证明了,要想一次不重复地走完七座桥,那是不可能的。天才的欧拉只用了一步证明,就概括了5040种不同的走法,从这里我们可以看到,数学的威力多么大呀!【一
5、笔画问题的规律】早在18世纪,瑞士的著名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。欧拉认为,能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的.但是,不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。数学家欧拉找到一笔画的规律是:1.凡是由偶点组成的连通图,一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点,最后一定能以这个点为终点画完此图。2.凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点),一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点,另一个奇点终点。3.其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个
6、奇点除以二便可算出此图需几笔画成)比如附图:(a)为(1)情况,因此可以一笔画成;(b)(c)(d第5页共5页)则没有符合以上两种情况,所以不能一笔画成。补充:相关名词的含义◎顶点与指数:设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的,这些点称为图形的顶点,从任一顶点引出的该图形的弧的条数,称为这个顶点的指数。◎奇顶点:指数为奇数的顶点。◎偶顶点:指数为偶数的顶点引例:下面两个图是一个小朋友一笔画出的,你能画出来吗?试一试!⑵⑴例1、下列各图中,哪一幅能一笔画?试画出来?()⑴⑵第5页共5页例1、下列各图中,哪些图
7、能够一笔画成,试画出来;()⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺BAEDCF图号⑴⑵⑶⑷⑸⑹奇数点偶数点能否一笔画成例2、下图是某公园的平面图,要使游客走遍每条路且不重复,问出入口应设在哪里?NM哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥,将河中的两个岛和河岸连结,如图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步,于是提出了一个问题:能否一次走遍7座桥,而每座桥只许通过一次,最后仍回到起始地点。 BCGJIHDEFA例3、下图是一座房屋的平面图,每两个相邻房间之间,都有一个门相通,除中间两人房间E和
8、F以外,每个房间都有门通向室外,你能够不重复穿过每一道门吗?第5页共5页思维训练题1、填空:⑴⑵⑶⑷图⑴中,有个奇点;有个偶点;图⑵中,有个奇点;有个偶点;图⑶中,有个奇点;有个偶点;图⑷中,有个奇点;有个偶点;上面各图中,能一笔画出;不能一笔画出;2、下列各图中,哪些能一笔画出?哪些不能一笔画出?能一笔画出的,请把它们画出来。⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼3、下图是某公园的平面图,要使游客走遍每
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