《数学分析原理》设计论文.doc

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1、《数学分析原理》.Walter.Rudin[M].北京：机械工业出版社，2004第五章微分法本章除最后一节外，我们集中注意于定义在闭区间或开区间上的实函数，这并不是为了方便，当我们从实函数转到向量函数的时候，就会看到本质的差别，定义在上的函数的微分法将在第九章予以讨论。实函数的导数5.1定义设f是定义在[a，b]上的实值函数，对于任意的x∈[a，b]，做（差）商（1）然后定义（2）但是这里要由定义4.1可假设等式右端的极限存在。于是与f相联系得到函数f’，它的定义域是[a，b]中所有使极限（2）存在的x点的集，f’叫做f的导函数。如果f’在x点有定义，就说f在x点可

2、微。如果f’在集E⊂[a，b]的每一点有定义，就说f在E上可微。可以在（2）中考虑左极限或右极限，从而就可得到左导数和右导数的定义。特别是在端点a，b上，在存在的前提下导数分别是左导数和右导数。但是我们不对单侧导数做详细讨论。如果f定义在（a，b）上，并有a

3、线上都连续但处处不可微的函数。5.3定理设f和g定义在[a，b]上，且都在点x∈[a，b]可微，那么f+g，fg，f/g也都在x点可微，且：在c中我们自然要假设g（x）≠0证由定理4.4，（a）显然成立令h=fg，则再两端同除以t-x，再注意当时（定理5.2）。（b）得证。再令h=f/g，那么令，再应用定理4.4及定理5.2，就可以得到（c）。5.4例显然任何常数的异数皆为0.若f定义为f（x）=x，则f’=1。反复运用（b）和(c)就可以证明xn是可微的，导函数为nxn-1，这里的n是任意整数，且n<0是必须x≠0.由此，每个多项式都是可微的，所以任一有理函数除掉

4、那些使分母为零的点后也是可微的。下一条定理通常被称为微分法的“链式法则”，用来求复合函数的导数，它也许是求导数的最重要的定理。在第9章还将看到它的更普遍的表述。5.5定理设f在[a，b]上连续，f’（x）在[a，b]上的某点x存在，g定义在一个包含f值域的区间I上，又在点f（x）处可微。若则h在x点可微，且有（3）证设y=f（x），由导数定义，知道（4）（5）这里t∈[a，b]，s∈I，并且当时，，当时。现在令s=f（t），先用（5），再用（4）就可以得到设t≠x，（6）由于f的连续性，知道当时，，于是（6）右端趋于g’(y)f’(x)，这就得到了（3）式。5.6例

5、（a）设f定义为（7）先承认的导函数是（我们在第8章里讨论三角函数）。当x≠0时我们可以运用定理5.3及定理5.5，得到（8）在x=0点，由于1/x无定义，就不能使用这两个定理了，现在直接按导数定义来计算，对于t≠0当t0时，这不能趋于任何极限，所以f’(0)不存在。（b）设f定义为（9）同上我们可以求得（10）在x=0，按导数定义计算，得到令t0，就知道（11）所以f在所有点x可微，但是f＇不是连续函数，这是因为（10）式右端第二项cos（1/x），当x0时不趋于任何极限。中值定理定义设f是定义在度量空间X上的实值函数，称f在点pX取得局部极大值，如果存在着>0，

6、当d（p，q）<且qX时有f（q）f（p）。局部极小值可以类似定义。下面的定理是导数的许多应用的基础。5.8定理设f定义在[a，b]上；x[a，b]，如果f在x点取得局部极大值而且f＇（x）存在，那么f＇(x)=0。对于局部极小值的类似的命题，自然也是对的。证按照定义5.7选取，那么若是x-

7、，b）内可微，且（12）要证明本定理，就得证明在某点x∈（a，b），h＇（ｘ）=0。若果h是常数，那么不论在哪一点x∈（a，b），都有h＇（ｘ）=0。如果某个t∈（a，b）使得h（t）>h（a），设x是使h达到最大值的点（定理4.16），从（12）来看，x∈（a，b），于是定理5.8说明h＇（x）=0。如果有某个t∈（a，b）使得h（t）