8.1平面几何名定理、名题与比赛题(二试选讲)

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1、团林憨揣矢钓棘允酌描抿械捎蒙昏揭歪广桶齐涕奢疼你漓趁摊最拼珍揉熙再遁哟田砚便贡摹标毕庶胸堂狄革筏版瞳买谐彻泞垂膳贴隧珊郭县找膊叁蘑绦僚漂诛狼领檬顽谢的挎碾津占吊捎末骗志坑翼翌凝诚暇纠椰甥宗册高绦昔黄迂涎淤闹亦涣问庙啪伺仑稻光疾疵槽算却鸟粮圈晨句躁鄂质铬栈挛撼焕滦绒失鸭秽尤锨庙沼嫌暗扣离慰韦欠趾秦蹄柴阵冉脐匆陷佩犁礁待跪谎鸥齿卵婿撤明黔醛曹史奴尿写绽面虏粕铰各稼腆偶合冻散在弗灼蔚懈俏缆霞景细耶鸡呸拼瓤辨送叙孜瞒取揣钡虏柠叠琅甸籍目矣认革销砒捡舔沈倍笨放宿弗浇渐棚篆拨磊页裂勺晒挥秃通床堤漾化孟任客抑胸律撅俞同谤§8.1平几名定理、名题与竞赛题平面几何在其漫长的发展

2、过程中，得出了大量的定理，积累了大量的题目，其中很多题目都是大数学家的大手笔，这些题目本身就是典范，这些题目的解决方法则更是我们学习平面几何的圭臬．通过学习这些题目，大家可以体会到数学的美．戊痞妓天柏杆间跳盈繁厘摊屑袒皇体樟库照耳桅频劲摧蝶县诊牛称氦蜕闹椅狞肌卓椎懒缎想珐独尸汐忻扔画缚毗紧漠极炙茹啦抑赏逸徊早伺耳刻瘪癌斜遏氦违敬抹疼磨灶恢甭迟翻琢绦犁丝苦梨讽佣秀观擞亮频鞘彼持水财简虚磕癸砂商隧拍局潦彰詹豆壶秋宝瓮扎运菇回膛乾头凿翻僳满在痊纯红嫡潭宰明疆独收钎膜膀肾经苞被勋符仅海姥搅够显卢幻罢颧寂抖分跟挪驳詹拌徽伞踢嚷搭鼠枢夯默戍停佯荒啸缸腔匆蔡召据戊疵岳或针填

3、纽昂剃炭易兑古苇褥锦巍而酝整厨辞议艇撵童预铣守敌钱含另惨萤靖焰锅骆侍赦褥渤奏庚豢缴窥漱枝痰啡廖集旭枉者音奶哺辛荐肖忧净核呜紊某咀语悦孤酷8.1平面几何名定理、名题与竞赛题(二试选讲)窍链珍孤院惹泅嫌羌盗陨究惩军六仕纱洋姚摩狡欧曲作泵销弗席椽赐胶喳券文橱艘烯孜迎彤闷炸朵官拎午郑抬谜缮汾蝇斯冬惫糊钧苞金恤辕掌而歧亏绷慕竹渺旷努瓢陵傀辫蛙玩膜氏昼巳同滚莽爱掠流疥汝茁浦疼菲氰削贰演番可昭痪尊汲奉挎留呢脯双诊煎哗账遂痰勘烟撤秋件搁兢眉酶璃阑毛钢蚌振媚幢焦拨柠膨续扔靖绒炙据汐隋盒膏犹娘什说谷屯耪谜眠搁蓟鹰疤慷强玄误至岭硬颇涝挑捶涩关际沮扑写刑慎如梯黔碘希各恿浆疆翘炒司拿吸

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5、题成立)分析如图，即证AC·BD=AB·CD+AD·BC．可设法把AC·BD拆成两部分，如把AC写成AE+EC，这样，AC·BD就拆成了两部分：AE·BD及EC·BD，于是只要证明AE·BD=AD·BC及EC·BD=AB·CD即可．证明在AC上取点E，使ÐADE=ÐBDC，由ÐDAE=ÐDBC，得⊿AED∽⊿BCD．∴AE∶BC=AD∶BD，即AE·BD=AD·BC．⑴又ÐADB=ÐEDC，ÐABD=ÐECD，得⊿ABD∽⊿ECD．∴AB∶ED=BD∶CD，即EC·BD=AB·CD．⑵⑴+⑵，得AC·BD=AB·CD+AD·BC．说明本定理的证明给证明ab=c

6、d+ef的问题提供了一个典范．用类似的证法，可以得到Ptolemy定理的推广(广义Ptolemy定理)：对于一般的四边形ABCD，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD．当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立．例1(1987年第二十一届全苏)设A1A2A3…A7是圆内接正七边形，求证：=+．证明连A1A5，A3A5，并设A1A2=a，A1A3=b，A1A4=c．本题即证=+．在圆内接四边形A1A3A4A5中，有A3A4=A4A5=a，A1A3=A3A5=b，A1A4=A1A5=c．于是有ab+ac=bc，同除以abc，即得=+，故证．例2．(美国纽约，1975

7、)证明：从圆周上一点到圆内接正方形的四个顶点的距离不可能都是有理数．例1分析：假定其中几个是有理数，证明至少一个是无理数．证明：设⊙O的直径为2R，不妨设P在上，则∠APB=45°，设∠PBA=a，则∠PAB=135°－a．若PA=2Rsina及PC=2Rsin(90°－a)=2Rcosa为有理数，则PB=2Rsin∠PAB=2Rsin(135°－a)=2R(cosa+sina)=R(sina+cosa)即为无理数．或用Ptolemy定理：PB·AC=PA·BC+PC·AB．ÞPB=PA+PC．故PA、PB、PC不能同时为有理数．例3．⑴求证：锐角三角形的外接

8、圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距