二次函数与一元二次方程1

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1、二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程：（1）二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.②当时，图象与轴只有一个交点；③当时，图象与轴没有交点.当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．（2）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.例1.已知函数的图象与x

2、轴只有一个交点，且交点在y轴左侧，抛物线开口向下，求此交点的横坐标．例2.已知二次函数（1）求证：无论k为何值，图象与x轴总有交点；（2）当k为何值时，图象经过原点？（3）在（2）图象中，当x取何值时，？当取何值时，？5例3.已知二次函数（1）若的图象如图所示，且OA+OB＝6，求此函数解析式．（2）如图，C、D在抛物线对称轴上，求．【例4】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．【例5】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．【例6】有一个二次函数的图象，三位学生分别

3、说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式5【例7】.已知抛物线与抛物线在直角坐标系中的位置如图所示，其中一条与轴交于，两点．（1）试判断哪条抛物线经过，两点，并说明理由；（2）若，两点到原点的距离，满足条件，求经过，两点的这条抛物线的函数式．ＡＢＯ【例8】.已知二次函数．（1）求证：当时，二次函数的图像与轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与轴交点为，，顶点为，且△的面积为，求此二次函数的函数表达式．【例9】.已知抛物线与轴交

4、于点，与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，若，是方程的两根，且．（1）求，两点坐标；（2）求抛物线表达式及点坐标；（3）在抛物线上是否存在着点，使△面积等于四边形面积的2倍，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．5作业1.抛物线与轴有个交点，因为其判别式0，相应二次方程的根的情况为．2.函数（是常数）的图像与轴的交点个数为．3.二次函数的图像与轴的交点坐标为　　　　　．4.若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当取时，函数值为。5.关于二次函数的图像有下列命题：①当时，函数的图像经过原点；②当，且函数的图像开口向下时，方程必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是；④

5、当时，函数的图像关于轴对称．其中正确命题的个数是。6.已知二次函数，关于的一元二次方程的两个实根是和，则这个二次函数的解析式为　　　　　　7.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时．8.抛物线与轴交于两点和，若，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位．9.关于的二次函数的图像与轴有交点，则的范围是。10.函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标．11.函数的图象如左下图所示，那么关于的一元二次方程的根的情况是（）Ａ．有两个不相等的实数根Ｂ．有两个异号的实数根Ｃ．有两个相等的实数根Ｄ．没有实数根512y3Ｏ12.已知二次函数的顶点坐标及部分图象（

6、如右上图所示），由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是和　　　　　　．1.已知抛物线的顶点在抛物线上，且抛物线在轴上截得的线段长是，求和的值．2.已知函数．（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图像与轴都有两个不同交点；（2）若函数有最小值，求函数表达式．5