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1、§5.2 平面向量分解定理及坐标表示 1.考查平面向量分解定理的应用；2.考查向量的坐标表示和向量共线的应用．复习备考要这样做 1.理解平面向量分解定理的意义、作用；2.运用定理表示向量，然后再进行向量运算．1．平面向量分解定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b
2、＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，
3、a
4、＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
5、
6、＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[难点正本 疑点清源]1．基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐
7、标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．当平面向量平行移动到时，向量不变即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．1．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.答案 解析 因为＝＋，又＝＋，＝＋，所以＝λ＋μ＝＋，得到λ＋μ＝1，λ＋μ＝1，两式相加得λ＋μ＝.2．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为_______
8、___．答案 (－3，－5)解析 ∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝－＝(－3，－5)．3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与b平行，则k＝________.答案 0解析 由ka＋b与b平行得－3(2k＋2)＝2(k－3)，∴k＝0.4．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c等于( )A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b答案 B解析 由已知可设c＝xa＋yb，则，∴.5．(2011·广东)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于( )A.B.C．1
9、D．2答案 B解析 a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，而c＝(3,4)，由(a＋λb)∥c得4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝.题型 向量坐标的分解运算例1 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标．解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(
10、－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．探究提高 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，则第四个顶点D的坐标是__________________．答案 (－4，－1)或(
11、12,5)或(－2,9)解析 设顶点D(x，y)．若平行四边形为ABCD，则由＝(1,5)，＝(－3－x,4－y)，得所以若平行四边形为ACBD，则由＝(－7,2)，＝(5－x,7－y)，得所以若平行四边形为ABDC，则由＝(1,5)，＝(x＋3，y－4)，得所以综上所述，第四个顶点D的坐标为(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)．题型三 共线向量的坐标表示例2 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(
