认知单位连结与程序在大学代数解题过程中所扮演的角色

《认知单位连结与程序在大学代数解题过程中所扮演的角色》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、數學科專題研究報告認知結構在數學上之研究數學科教師農寶姈一、代數的研究對於大學的代數科目，有些學生覺得非常簡單，有些學生即使努力再努力，卻仍被當掉，必須面臨重補修的惡運。這是為什麼呢？Crowley&Tall（1999）提出認知單位（cognitiveunit）理論說明分析這兩類學生解題時認知路徑之差異。以下面一個大學代數課程中的問題為例：　　『求方程式3x+4y=12圖形中的x截距和y截距？』　　有x,y對稱感的學生，馬上就可以看出答案。例如：為了得到y截距，先令3x=0，並專注4y=12，看出解答＝3（

2、圖2-1）。同理求另一個x截距時，不需寫下任何的中間步驟，只需透過兩項立即連結，就可得到壓縮答案（compressedsolution）。那些無法看出答案的學生會憑藉子目標的方式，使用冗長的程序完成作答。0+4y=12求3x+4y=12的y截距y截距就是3　　　　　　　　　　　　　　　　　　專注於12除以4圖2-1：壓縮解13（一）個案人物Kristi　　Kristi是一位社區大學裏需要補修中等代數的學生。在她完成大學數學課程前，必先修完中等代數，以便取得心理學學位。尚未修這門課程之前，她已具備直線方程式有

3、不同型式的概念；在訪談中，她能討論關於直線、直線方程、斜率、圖形等等的問題。然而，卻總是將方程式的焦點放在y=mx+b的型式上。不管恰當與否，在她著手於問題時，一定會先建立將方程式改為y=mx+b型式的子目標。　　她的第二個主要策略源自於第一個標準型態。如果已知是標準型態，Kristi立即透過繪圖計算器將圖畫出來，原因是「假如能讓我看一下紙張上或螢幕上的真實圖形，那麼我也就能將圖烙印在心裏——它是一條直線。」當訪談者問及：「圖形上的y截距是什麼？」Kristi回答：「那就是它截過y的位置……我知道它是一直線

4、，所以會穿過這裏的某一點」之後，Kristi仍無法作答。訪談者暗示：「你會畫圖嗎？」她回應：「是的，如果我有一部繪圖計算器……」（附記Kristi的數學背景：她習慣使用繪圖計算器，並且對於結果感到相當成功滿意。但是如果沒有繪圖計算器的幫助，她還是有成功的機會……）接著，Kristi辯解自己的想法：「它像是……需要找一個點……0嗎？……如果令x是0，那麼……OK，x等於0。0，5。OK。」於是，她點出（0,5）這個點，但還是無法看出y截距到底是多少。主要原因是她的比較器（comparator）失靈，不然就是此

5、刻的她未能和最終目標——y截距連結。所以她繼續尋找第二個點座標，希望求出直線圖形。其採取的步驟是令x等於1，然後記下點（1,4），並將（0,5），（1,4）兩點連起來，作出一條直線，這時才確定y截距是5。13　　Crowley&Tall繼續提出第二個問題：求2y+x=-6的y截距。Kristi仍採用她的“一般策略”，立即將方程式2y+x=-6中的x移項，然後每項除以2，轉換成斜截式，當Kristi被要求：「如果規定妳不要換成斜截式，那麼妳會如何處理？」她回答「我不知道我該怎麼做……，我無法想見2y+x=-6

6、的圖形像什麼……，除非我把每項都除以2，否則我還是不知道怎麼辦。到目前為止，我所知道的方式……就是將它換成斜截式。」由此看來，要求她不要換成斜截式，會中斷她的解題策略。此時，她再一次嘗試以描點的方法作出方程式的圖形。　　後來Crowley&Tall又要求她：「找出3y+x-12=0的x截距和y截距。」她的回答是：「將每項都除以3，我在心中看到移項，把x除以3，它就是x加上……，所以y截距等於4」。她再一次把方程式化成斜截式，再求y截距。如果，她具備概念性的連結，那麼她就能輕易的令x=0，得到y截距，而不必如

7、此大費周章。當她又被問及：「妳打算怎麼做？妳要畫出什麼？」她立刻描出（0,4）這個點。至於找x截距這個問題，她回應：「在繪圖計算器的螢幕上，當y是多少時，x在……然後利用截點，找出x在那裡。」　　她解題時所採用的一般策略，以圖2-2表示。13y=mx+b為了得到x截距，先令y=0再解……求3y+x-12=0的x截距和y截距y=-y截距是4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　？？？將圖形畫在繪圖計算器上　　　　　　　　　思考　　　　　　　　　間接連結　　　　　　　　　直接連結　　　　　　　　　使用電算

8、器y截距是12圖2-2：Kristi求3y+x-12=0的x截距和y截距時，所採用的策略　　這個實驗顯示學生解決問題時，採用合理解題程序的複雜性。範例中求x、y截距，若能利用x、y的對稱性，就只需透過兩個簡短的算式，便可立即得到一個壓縮答案（compressedsolution）。不過，個案學生始終無法從函數圖形的經驗中，察覺出x、y的對稱性。因此，雖然同樣是求截距的問題，但在處理的方式上，卻截然不同。Krist