电动力学 崔元顺

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1、电动力学的数学基础一.矢量场论1.矢量代数混合积的轮换：三重叉积的展开：2.梯度、散度和旋度①定义,或,为标量场。，通量定义。，环流定义。为矢量场。②算符以及梯度、散度和旋度的表示（）直角坐标系中：用表示梯度、散度和旋度：算符的性质：矢量性——矢算符，按矢量运算规则。微分性——微分运算，按求导规则。③一些定理：标量场的梯度无旋度：。或曰：无旋场必可表为标量场之梯度，即若，则矢量场的旋度无散度：。或曰：无源场必可表为另一矢量的旋度，即若，则显见以上为纵场，为横场。④积分变换公式：，，。⑤的直角坐标系、球坐标系及柱坐标

2、系表示直角系中的表示：球系中的表示：单位矢，变量立体角柱系中的表示：单位矢,变量3.算子的运算规则及公式①一次作用梯度：散度：旋度：混合：②二次作用直角系：球系：柱系：—Laplace算符，标算符，有的书上记为：.③复合作用设，而则④对和的运算，位置矢量：则有。4.唯一的确定矢量场的条件值得指出，在静电学中我们有时仅用高斯定理就能把场确定下来，这里必定加上另外信息，如具有某种对称性等，否则不可。在静磁学中也如此，只当问题具有某种对称性时，单用环路定理可以定出磁场。二.并矢代数和张量分析1.并矢①定义两矢量并列不作任

3、何运算：，含九个分量；例如则：注意：一般地。②单位并矢及其运算；。2.张量分析三、拉普拉斯方程的分离变量解拉普拉斯方程:球系的形式：通解为：式中为待定系数，为缔合勒让德函数。①具有轴对称性时当问题具有轴对称性时，电势与方位角无关，则通解为(令m=0)：式中为待定系数，为勒让德函数。②具有球称性时当问题具有球对称性时，电势仅与有关，则通解(令n=0)为：其中a,b为待定系数。四、其他1、全积分的圈积分为0，例如2、面积元的积分表示3、多元函数的泰勒展开设函数在点附近连续，则级数展开为4、关于波动方程—达朗贝尔方程的解

4、的解具有形式：作业：（1）查阅《数学物理方法》相关内容；（2）P45：ex.3、6。第一章电磁现象的普遍规律本章承上启下的作用，前承电磁学，启下于电动力学，多用微分学方法定量研究电磁问题。是全课程的一种概述，以后各章分述，所用为“场论”方法。§1.电荷和电场一、库仑定律1、定律内容强调：真空，点电荷，静止。2、场强。叠加原理：①分立分布时②连续分布时积分公式中，在各种坐标系中计算要会取dV。，见以下内容。二、高斯定理和电场的散度1、点电荷情况：。是元立体角。∴。2、点电荷组或连续分布情况：3、微分形式：依据奥-高积

5、分变换公式：，∴转换成：，∵V任意，∴给出高斯定理的微分形式为：意义说明：(1)(2)(3)三、静电场的旋度确定一个矢量场需1、点电荷∵（全微分）∴2、一般分布电荷用场叠加原理，可得。3、微分形式运用斯托克斯公式：，∵S任意，∴的微分式为例题1：。①问题具有球对称性，分区运用高斯定理，可求出为：②计算（运用球坐标系）∵∴反映出散度的局域性质；验证了定理。讨论：§2.电流和磁场一、电荷守恒定律1、I和的关系2、和的关系3、电荷守恒定律《电磁学》中给出电荷守恒定律的积分形式：（结合模型、阐述意义）依据奥-高积分变换公式

6、，仿效§1中得到的过程，给出电荷守恒定律的微分形式：4、稳恒电流条件表明：稳恒电流是闭合的（因而稳恒电路应是闭合的）。二、毕奥—萨伐尔定律1、安培力2、稳恒电流激发的规律在《电磁学》中，给出毕奥—萨伐尔定律为而∴三、磁场环流和旋度1、安培环路定理《电磁学》中给出安培环路定理的积分形式：若安培环路内无电流，则之环流为零。2、的旋度运用斯托克斯公式，仿效§1中得到的过程，给出安培环路定理的微分形式：表明：磁场是涡旋场。四、磁场的散度1、磁场无源（高斯定理）2、微分形式讨论：（1）表明：磁场无散度（无源场）。（2）在数学

7、上，散度为零的矢量场可以表示成另一矢量场的旋度，即∵∴其中——磁矢势。************************五、理论证明：推导线路：其中：[注意]；：①计算，有其中第一项因为：=0（无电流流出）；第二项因为用稳恒电流条件也为零。②计算。最终得到：例题2：已知电流I均匀分布在半径为a的无限长直导线中，求和.（运用柱坐标系）解：可见，具有轴对称性。∴即§3.麦克斯韦方程组变化的电磁场相互激发，形成电磁场整体。一、电磁感应定律1、积分形式，而，∴2、微分形式∴二、位移电流及方程的自洽性推广如下公式。方案如下：全

8、电流闭合（高斯定理）∴三、麦克斯韦方程组1、总结与概括2、方程意义四、洛伦兹力公式1、特殊情形。2、普通情况************************综述§4.介质的电磁性质一、介质的概念1、介质的特点2、介质模型二、介质极化1、描写介质极化的程度和状态2、极化强度与极化电荷的关系（1）极化电荷体密度以位移极化(无极分子)为例推导如下：，。微分关系为讨