素材：2012届高中数学1.5.2估计总体的数字特征素材北师大必修3

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1、第一章统计5.2估计总体的数字特征一、用样本的数字特征估计总体的数字特征1．平均数、中位数、众数（1）平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数。（2）中位数：如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的平均数，是这组数据的中位数。（3）众数：在一批数据中，出现次数最多的数（若有两个或几个数据出现地最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数）。说明：在频率分布直方图中也可以找到众数、中位数。众数根据它的意义可知

2、在频率分布直方图中最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数；而在频率分布直方图上的中位数左右两侧的直方图面积应该相等，因而可以估计其近似值。2．平均数、中位数、众数的异同（1）平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量。（2）平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动。（3）众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题。（4）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中

3、，也可能不在所给数据中。当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势。（5）实际问题中求得的平均数、众数、中位数都应带上单位。3．极差、方差、标准差（1）极差：就是一组数据中最大数与最小数之间的差。（2）方差：设一组数据为，，…，，这组数据的平均数为，则方差为。注：两个简化公式①；②。其中，，…，，是接近原数据的平均数的一个常数。（3）标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。。说明：计算样本数据，，…，的标准差的算法①算出样本数据的平均数；②算出每个样本数据与样本平均数的差（

4、1，2，…，）；③算出（1，2，…，）；④算出（1，2，…，）这个数的平均数，即为样本方差；⑤算出方差的算术平方根，即为样本标准差。二、范例剖析例1为了了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高)，分组情况如下：分组147.5～155.5155.5～163.5频数621频率  分组163.5～171.5171.5～179.5频数 频率0.1求出表中、的值。分析：由频率的意义，各小组的频数与样本容量的比就是相应各小组的频率，因此易求出第一、二小组的频率，再根据各小组频率之和为1的性质，即可求出；再逆用频率公式，可求出当频率

5、为0.1，样本容量是60时的频数。解析：第一小组的频率，第二小组的频率，因为各小组频率和为1，所以第三小组频率为＝1－(0.1＋0.35＋0.1)＝0.45。又∵，∴。评注：统计图表的饿方法有多种多样，各种方法也有各自的优点与不足，一般情况是借助于各自的优点，只要能充分体现其问题的本质即可。例2某市对上、下班交通情况做抽样调查，上、下班时间各抽取了12辆机动车行驶速度如下：（单位：）上班时间：303318273240262821283520下班时间：271932293629302225161730用茎叶图表示上面的样本数据，并求出样本数据的中位数。分析：以十位数为

6、茎，个位数为叶，可以作出相应的茎叶图，从而可据图分析数据的特征。解析：根据题意绘出该市上、下班交通情况的茎叶图，如图所示。上班时间下班时间由图可见，上班时间行驶时速的中位数是28，下班时间行驶时速的中位数是28。评注：茎叶图保留了原始数据，所有的数据信息都可以很容易的从表中获得。例3某工厂人员及工资构成如下：人员经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资2200250220200100人数16510123合计22001500110020001006900（1）指出这个问题中的众数、中位数和平均数；（2）在这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？分析：

7、该例着眼于众数、中位数、平均数各自的特点，以及其使用对象。解析：由表格可知，众数为200；∵，∴中位数为250；平均数为。虽然平均数为300元/周，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。评注：平均数受数据中的极端值的影响较大，妨碍了对总体估计的可靠性，这时平均数反而不如众数、中位数更为客观。例4求一组数据7，6，8，8，5，9，7，7，6，7的方差和标准差。分析：尝试用不同的方式简化求数据方差的公式。解法1：∵，∴∴。解法2：同解法一，求得，∴，∴。解法3：将各数据减去7，得一组新数

8、据：0，－