2017-2018学年高中数学 第二章 概率 4 二项分布教学案 北师大版选修2-3

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1、§4二项分布某篮球运动员进行了3次投篮，假设每次投中的概率都为，且各次投中与否是相互独立的，用X表示这3次投篮投中的次数，思考下列问题．问题1：如果将一次投篮看成做了一次试验，那么一共进行了多少次试验？每次试验有几个可能的结果？提示：3次，每次试验只有两个相对立的结果投中(成功)，未投中(失败)．问题2：X＝0表示何意义？求其概率．提示：X＝0表示3次都没投中，只有C＝1种情况，P(X＝0)＝C3.问题3：X＝2呢？提示：X＝2表示3次中有2次投中，有C＝3种情况，每种情况发生的可能性为2·.从而P(X＝2)＝C2·.二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相

2、互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p；(3)各次试验是相互独立的．用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．1．P(X＝k)＝C·pk(1－p)n－k.这里n为试验次数，p为每次试验中成功的概率，k为n9次试验中成功的次数．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n次；其三是

3、各次试验相互独立．服从二项分布的随机变量的概率计算[例1]　在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试问3个投保人中：(1)全部活到70岁的概率；(2)有2个活到70岁的概率；(3)有1个活到70岁的概率．[思路点拨]　每人能否活到70岁是相互独立的，利用二项分布公式可求．[精解详析]　设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X～B(3,0.6)，故P(X＝k)＝C0.6k·(1－0.6)3－k(k＝0,1,2,3)．(1)P(X＝3)＝C·0.63·(1－0.6)0＝0.216；即全部活到70岁的概率为0.216.(2)P(X＝

4、2)＝C·0.62·(1－0.6)＝0.432.即有2个活到70岁的概率为0.432.(3)P(X＝1)＝C·0.6·(1－0.6)2＝0.288.即有1个活到70岁的概率为0.288.[一点通]　要判断n次试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：(1)每次试验是在相同的条件下进行的；(2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的；(3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变；(4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，出现“3个正面，1个反面”的概率是(　　)9A.　

5、　　　　　　　　B.C.D.解析：由题意，出现正面的次数X～B，∴出现3个正面1个反面的概率为P(X＝3)＝C×3×＝.答案：D2．甲每次投资获利的概率是p＝0.8，对他进行的6次相互独立的投资，计算：(1)有5次获利的概率；(2)6次都获利的概率．解：用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项分布B(6,0.8)，且(1)P(X＝5)＝C0.85(1－0.8)≈0.39，他5次获利的概率约等于0.39.(2)P(X＝6)＝C0.86≈0.26.他6次都获利的概率约等于0.26.3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：(1)甲恰好击中目

6、标2次的概率；(2)乙至少击中目标2次的概率；(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C3＝.(2)乙至少击中目标2次的概率为C2＋C3＝.(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．P(A)＝P(B1)＋P(B2)9＝C2·C3＋C3·C3＝＋＝.服从二项分布的随机变量的分布列[例2]　(12分)从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的

7、次数．求(1)随机变量X的分布列；(2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．[思路点拨]　求随机变量的分布列，首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再求随机变量取各个值的概率．[精解详析]　(1)由题意X～B，则P(X＝0)＝C03＝，(3分)P(X＝1)＝C12＝，(4分)P(X＝2)＝C21＝，(5分)P(X＝3)＝C30＝.(6分)∴X的分布列为X＝k0123P(X＝k)(8分)(2)由题意知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯