复变函数习题答案第2章习题详解

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1、第二章习题详解1．利用导数定义推出：1)（为正整数）解：2)解：2．下列函数何处可导？何处解析？1)解：设，则，，，，都是连续函数。只有，即时才满足柯西—黎曼方程。在直线上可导，在复平面内处处不解析。2)解：设，则，，，，都是连续函数。只有，即时才满足柯西—黎曼方程。在直线上可导，在复平面内处处不解析。3)解：设，则，13，，，都是连续函数。只有且，即时才满足柯西—黎曼方程。在点处可导，在复平面内处处不解析。1)解：设，则，，，，都是连续函数。完全满足柯西—黎曼方程。在复平面内处处可导，在复平面内处处解析。1．指出下列函数的

2、解析性区域，并求出其导数。1)解：，在复平面内处处解析。2)解：，在复平面内处处解析。3)解：，，在复平面内除点外处处解析。4)（，中至少有一个不为）解：当，则当时，，在复平面内除点外处处解析。当时，则，，在复平面内处处解析。2．求下列函数的奇点：131)解：令，解得，。故有、、三个奇点。2)解：令，解得，。故有、、三个奇点。1．复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有哪些方法？解：复变函数的可导性是函数在某一点的局部性质，而解析性是函数在一个区域内的整体性质。判断函数的解析性有两种法。一是用定义，利用函数的可

3、导性判断解析性；二是用定理：函数在其定义域内解析和在内点可微，并且满足柯西—黎曼方程。2．判断下列命题的真假，若真，请给以证明；若假，请举例说明。1)如果在连续，那末存在；解：假命题。例如，在复平面内任意一点都连续，但不满足柯西—黎曼方程，故不存在。2)如果存在，那末在解析；解：假命题。例如，，在点可导，但在点不解析。3)如果是的奇点，那末在不可导；解：假命题。例如，在复平面内处处不解析，因此处处是奇点，但在上的点均可导。4)如果是和的一个奇点，那末也是和的奇点；解：假命题。例如，与在复平面内处处不解析，即复平面内任意一点都

4、是与的奇点。但在复平面内处处解析，即在复平面内没有奇点。5)如果和可导（指偏导数存在），那末亦可导；解：假命题。例如，设，则，均可导，但不满足柯西—黎曼方程，因此不可导。6)设在区域内是解析的。如果是实常数，那末在整个内是常数；如果13是实常数，那末在内也是常数。解：真命题。下面证明：因为在区域内解析，即满足柯西—黎曼方程：，如果是实常数，则，，即为实常数，故在内为常数。如果是实常数，则，，即为实常数，故在内为常数。1．如果是的解析函数，证明：。证明：在点处解析，，131．设为解析函数，试确定、、的值。解：设，，则，，，，，

5、为解析函数2．证明柯西—黎曼方程的极坐标形式是：，证明：直角坐标与极坐标的转换公式为，于是由复合函数求导得：，即：，131．证明：如果函数在区域内解析，并满足下列条件之一，那末是常数。1)恒取实值；证明：恒取实值，即。是解析函数，所以，即为常数，故是常数。2)在内解析；证明：因为在区域内解析，所以，又为在区域内解析，所以，，故是常数。3)在内是一个常数；证明：设同时，成立。所以即，均为常数，故是常数。4)在内是一个常数；证明：设，则。如果，则，从而，又在内解析，13，所以为常数，故是常数。如果，则，于是有同时，成立。所以即，

6、均为常数，故是常数。如果，则；如果，则，与的讨论一样，可得到是常数。1)，其中，与为不全为零的实常数。证明：因为，且与为不全为零，所以和不能同时为零。假设，则有，于是，在区域内解析，，，，所以为常数，故是常数。1．下列关系是否正确？1)解：设，则2)解：3)13解：1．找出下列方程的全部解：1)解：，，即2)解：，，即3)解：，，即4)解：，，即2．证明：1)，证明：2)证明：3)证明：令，则131)证明：，令，则，2)，证明：3)，证明：令，则同理可证：1．说明：131)当时，和趋于无穷大；解：，而，同理：2)当为复数时，

7、和不成立。解：由于为复数，可设，则故当为复数时，和不成立。1．求，和它们的主值。解：主值为主值为2．证明对数的下列性质：1)证明：所以：2)证明：所以：131．说明下列等式是否正确：1)解：设所以和的实部相同，但虚部不尽相同，故不正确。2)解：设所以和的实部相同，但虚部不尽相同，故不正确。2．求，，和的值。解：3．证明，其中为实数。证明：如果是整数，则如果不是整数，则4．证明：1)；证明：131)；证明：2)，。证明：1．解下列方程：1)；解：即2)；解：即3)。解：即2．证明与，证明：13证明：1．证明：的反函数。证明：设

8、，则。即2．已知平面流速的复势为：1)；2)；3)；求流动的速度以及流线和等势线的方程。13