从均匀膨胀宇宙模型推导证明红移-距离关系式

《从均匀膨胀宇宙模型推导证明红移-距离关系式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、从均匀膨胀宇宙模型推导证明出的红移－距离关系式（河北邯郸　　薛世康　2012-7-2，2012-12-16修改）１．首先，由熟知的罗伯逊—沃尔克（Robertson－Walker）度规：推导出重要关系式：｛　１＋ｚ＝＝｝其中：r，θ，φ为共动坐标；r为径向共动坐标，它不随时间变化（宇宙膨胀）而变化，是无量纲量。t为宇宙时（cosmictime），它是在共动坐标系中静止的观察者所测到的原时。k是一常数，适当选取r的单位，可使k取＋１，０，－１，分别对应于闭合的宇宙（k＝＋１），平坦的宇宙（k＝０）和开放的宇宙（k＝－１）。随时间变化，称为宇宙尺度因子,具有长度的量纲。对于θ，φ固

2、定，r＝０和r＝的两点间的固有距离为，　　　　　=此处所讨论的情形为球坐标，可将上述的一般关系进一步简化如下。２．从球坐标转换为一维直线情形，以使问题得以简化：考虑一列沿-ｒ方向朝我们而来的光波包，其频率为，在宇宙时和＋时刻从一个遥远的星系（共动坐标r＝处）发出，在和＋时刻被我们（r＝０）接收到。由于光子的运动方向为零测地线，＝０，又由于只沿径向运动，＝０，＝０，所以有即　　　　　　　，　　　　　　（１．２）以及　　　　　，　　　　　　　（１．３）两式相减，就得到一个极其有用的关系式：　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　（１．４）这即是时间膨胀现象的宇宙学表达式。我们所接收

3、到的光波的频率同发射时刻的频率的关系为　　　　　　　　　　（１．５），３．天文学中常用红移ｚ来表示波长（或频率）的变化：　　　　　，　　　（１．６），其中为光波在发射时刻的波长　、为我们接收时刻的波长。因此我们有　　　　　１＋ｚ＝＝　　　　（１．７），式（１．７）为宇宙学中最重要的关系式之一，该式揭示了宇宙学红移的本质，即宇宙学红移ｚ加１等于宇宙的尺度因子的今天值与过去值（光波信号发生时）之比。可以看到，R(t)的具体取值并不太重要，真正重要的是R(t)的比值。甚至在有些专著中为方便起见，常将今天的尺度因子取为１。由此式可知，若宇宙是不断膨胀的，则＞，即ｚ＞０，我们观测到的遥远

4、天体的光谱线都将发生红移。反之，若宇宙不断收缩，＜，即ｚ＜０，观测到的遥远天体的光谱线将发生蓝移。天文观测表明，除了一些近处的星系外，几乎所有的河外星系的谱线都发生了红移。　４．宇宙尺度因子R(t)反映了宇宙介质整体在膨胀的进程。由上述的关系式　　１＋ｚ＝＝　　　（１．７）以及下图所示关系，即可推导出宇宙学中非常重要的红移－距离关系式。（１）．红移－距离关系式的推导过程在如下所示图中为观察者所在星系Ｂ到视界Ｏ之间的尺度其中：B点　为观察者所在星系，A点　为观察到的目标星系，O点　为可观测宇宙的视界。　为观察者所在星系Ｂ到视界Ｏ之间的尺度；　为被观察星系A到视界O之间之间的尺度；

5、　为观察者所在的星系Ｂ到被观察目标星系A之间的尺度（跟距离有关系）［－］。在以下的推导证明中，（＝，＝，以与图中的符号一致，问题本质不变）由关系式（１．７）　　１＋ｚ＝＝，可以得到：＝（１＋Z）,　　　则＝（），从而有如下：　－＝－（）＝（１－）＝（）＝（），　即－＝（）；设ｒ为我们与被观察星系之间的距离，则有：ｒ＝－＝（），即得到距离　ｒ＝（）。（２）．取值的确定及讨论根据现代宇宙学的研究成果，我们已能确定可观测宇宙的视界的大小。目前已经知道的表达式为，＝，其中Ｃ为真空中的光速，为哈勃常数，其取值目前已测定的比较准确。以＝代入　ｒ＝（）之中，就得到被观察的星系与我们的距离为　

6、ｒ＝（）＝（）。　　　即ｒ＝（）。综上所述，我们由宇宙学中的罗伯逊—沃尔克（Robertson－Walker）度规所推论出的重要的关系式１＋ｚ＝为出发点，并根据附图所示的几何、代数关系进行巧妙变换，从而证明了均匀膨胀宇宙中的距离－红移关系ｒ＝（），它有着非常坚实的物理、宇宙学基础。最后再次指出，距离－红移关系ｒ＝（）是计算遥远星系距离的便捷公式，并且此式是对哈勃公式的进一步的推广。参考文献[1].《观测宇宙学》（第二版）何香涛　著，北京师范大学出版社，２００７年１２月。[2].《天体物理学》李宗伟　肖兴华　著，高等教育出版社，　２０００年７月第一版