考研数学易出错题2010

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1、敬请数学3高人指教：（本人思路上暴露的毛病是什么，以10年试题为例）选择3：fxgx都存在2阶导。g"(x)<0,g（xo）=a是g(x)的极限，f(g(x))在xo取得极大值充分条件？？？？？？（此题毫无思路）（是基础不牢还是练手不够？？）（3）设函数，具有二阶导数，且，若是的极值，则在取极大值的一个充分条件是（）ABCD【详解】根据已知得，。因此，故要想为的极大值点，只需即可。即。因此只需。故选B【评注】本题考查一元函数的极值，只要记住如下定理即可，觉得没思路说明基本的定理还不熟，应该是基础的问题设函数在处存在二阶导数且，那么ⅰ）若则在处取得极小值；ⅱ）若则在处取得极大值。17

2、题：M=xy+2yz在约束条件,x2+y2+z2=10下的最大值和最小值（构造拉格朗日函数,xyzƛ，分别求偏导，难道真是这样繁琐的求下去？）（考试时见数据繁琐，顿时相当头疼，结果……）17（本题满分10分）求函数M=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值【详解】令，构造辅助函数，求解下列方程组：解得时点和点时点和点将得到的4个点代入中可得：，，可知函数在条件下的最大值为，最小值为【评注】本题综合考查条件极值的计算，这种题目没有特殊的方法，只能构造拉格朗日函数，再求导，具体解题步骤如下。考研对偏导数的考查难点就在于计算量往往稍大，但也不会太夸张，像这个题如果

3、计算准确的话也不会太麻烦。平时如果多练一些的话还是比较容易做出来的。求函数在约束条件下的极值点的方法：1）.作拉格朗日函数2）.解方程（这三个方程其实是找拉格朗日函数的驻点）3）.根据实际条件判断所求出的点是极大值还是极小值。18：

4、lnx

5、[ln(1+x)]ndx和

6、lnx

7、[x]ndx比较大小n=12……（自己思路：提出

8、lnx

9、，相当于比较

10、[ln(1+x)]n次和xn次大小。令函数F(x)=ln(1+x)/x,求这个函数的极小值，然后1阶导甚至2阶导找出最小值点判断这个函数的极小值和1的大小。）（看到答案，我崩溃了，积分，函数x的范围就是从零到一！考试时，根本没想到。基础？

11、概念？练笔？18（本题满分10分）（Ⅰ）比较与的大小，说明理由（Ⅱ）设求极阳【详解】（1）.由题意可知积分区域相同，比较两式的大小只需要比较被积函数在区域内的大小即可即比较和的大小在区间上所以上边两式变为，令当时，上式，所以积分面积（2）因为又因为，所以由夹逼定理可知所以所求【评注】这道题你前面的想法是正确的。这道题到后面实际上就是比较函数与的大小，而时是一个很常用的不等式，在平时解题的过程中经常用到。你做到这的时候没有想到这个不等式说明你练习得不够。21：A=(三行三列，公式不好找，不太好看)正交阵QQtAQ正交阵，Q第一列，,,求aQ(自己思路：Q第一列是QT第一行，QTAQ，

12、可以得到一个特征值，再将此特征值代入A可以得到a……可惜计算量太浩大，无果而终）（看到答案，恍然大悟，忽视是A一特征向量……）？？？？？21（本题满分11分）设，正交矩阵使得为对角矩阵，若的第1列为，求，【详解】由题意，为矩阵的特征向量，因此。解得，。将代入，又由得特征值：，，。由求特征向量为由求特征向量为所以矩阵为【评注】本题综合考查实对称矩阵的正交相似对角化。你看到这个题之后没有反应过来为矩阵的特征向量也还是说明了你这一块练习比较少，没有掌握到一般的解题思路。ⅰ）特征值及其对应的特征向量的定义是；ⅱ）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，利用该性质，可以在实对称矩阵只有一

13、个特征值的特征向量未知的情况下求出该特征值的特征向量，这往往是求解很多题目时的突破口。22f(xy)=Ae(-2x+2xy-y)次求A（思路很明确，对它2重积分，负无穷到正无穷f（xy)=1,也想到对正态分布积分是1.。但想到此题xy两个未知，无从下手，？？高手们看到这个怎么想的？？22（本题满分11分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为，，，求常数A及条件概率密度【详解】首先有即，计算可得在第一步对的积分中作变量代换得因此有条件概率密度公式==上式利用了公式。f(y

14、x)==【评注】这道题你的思路基本上是正确的，计算重积分是应该要用到正态分布，但计算过程是有一定技巧的，没算出来

15、也算情有可原。据说这道题时群主也花了很长时间才做出来。但从实际上，这道题里用到的还是一些基本的方法。要想下次碰到类似的题能算出来，还是勤加练习吧。16题最悲剧，双曲线看成了圆……16（本题满分10分）计算二重积分，其中D由曲线与直线及围成。【详解】计算二重积分，其中D由曲线与直线及围成。画图有该区域D关于x轴对称，令区域D在第一象限的区域为，则有【评注】这个没办法了，看错题只能在自身找原因了。下次看题细心点吧。