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1、德州学院数学系点集拓扑教案§3.2（有限）积空间为避免过早涉及某些逻辑上的难点，本节只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形下的研究留待以后去做.给定了两个拓扑空间，我们首先可以得到一个集合作为它们的笛卡尔积.为按某种正常的方式给定这个笛卡尔积一个拓扑使其成为拓扑空间，我们先考虑度量空间.一度量积空间我们知道在n维欧式空间Rn中两个点，之间的距离ρ（x,y）定义为：ρ（x,y）=，其中
2、是R中两个点xi和yi的通常距离.推广这个定义得到：定义3.2.1设是n≥1个度量空间.令X=X1×X2×…×Xn.定义ρ：X×X→R使得
3、对于任何，∈X，ρ（x,y）=.容易验证ρ是X的一个度量.我们称ρ为笛卡尔积X=X1×X2×…×Xn的积度量；称（X,ρ）为n个度量空间的度量积空间.注由定义知，Rn是n个实数空间R的度量积空间.每个度量空间也是拓扑空间，其拓扑就是其度量诱导出的拓扑.度量积空间的度量诱导的拓扑具有下面的一个重要性质：定理3.2.1设是n≥1个度量空间，（X,ρ）为它们的积空间，又设Ti和T分别是由度量ρi和ρ所诱导出来的Xi和X的拓扑，其中i=1,2,…,n.则X的子集族B={U1×U2×…×Un
4、Ui∈Ti,i=1,2,…,n}是X的拓扑
5、T的一个基.证明仅就n=2的情形加以证明.首先根据积度量的定义容易得到：对任意x=(x1,x2)∈X和任意ε>0，我们有：53德州学院数学系点集拓扑教案其中分别表示xi,x在度量空间Xi和X中分别以xi,x为中心，以μ为半径的球形邻域，i=1,2.验证若y=(y1,y2)∈左，则ρ1(x1,y1)2<，ρ2(x2,y2)2<.所以所以，y∈中，所以左中.若y=(y1,y2)右，则（因为这时ρ1(x1,y1)2，ρ2(x2,y2)2至少有一个≥），所以y中.这证明中右.设U1×U2∈B，其中U1∈T1,U2∈T2，如果x=(x
6、1,x2)∈U1×U2，则存在和，于是，其中.这说明U1×U2是x的一个邻域.由于x是U1×U2中的任意一个点，所以U1×U2是X中的一个开集.这证明BT.如果U是X中的任意一个开集，即U∈T,则对于每一点x∈U，存在，从而.由此可见.这就是说，X中的每一个开集是B中的某些元素的并.因此B是T的一个基.一般情况的证明类似.二拓扑积空间由定理3.2.1的启示，我么按下列方式引进有限个拓扑空间的积空间这一概念.先看下面的定理定理3.2.2设(X1，T1),(X2，T2)，…，(Xn，Tn)是n≥1个拓扑空间，则X=X1×X2×…
7、×Xn有唯一的一个拓扑T以X的子集族B={U1×U2×…×Un
8、Ui∈Ti，i=1,2,…，n}为它的一个基.53德州学院数学系点集拓扑教案证明⑴由于X=X1×X2×…×Xn∈B，所以；⑵如果U1×U2×…×Un，V1×V2×…×Vn∈B，其中Ui，Vi∈Ti，i=1,2,…，n,则（U1×U2×…×Un）∩（V1×V2×…×Vn）=(U1∩V1)×(U2∩V2)×…×(Un∩Vn)∈B，由定理2.6.3，可见本定理的结论成立.证毕.定义3.2.2设(X1，T1),(X2，T2)，…，(Xn，Tn)是n≥1个拓扑空间，则X=
9、X1×X2×…×Xn的以子集族B={U1×U2×…×Un
10、Ui∈Ti，i=1,2,…，n}为它的一个基的那个唯一的拓扑T称为拓扑T1,T2，…，Tn的积拓扑，拓扑空间(X,T)称为拓扑空间(X1，T1),(X2，T2)，…，(Xn，Tn)的（拓扑）积空间.说明⑴据定理2.6.3，X=X1×X2×…×Xn以B={U1×U2×…×Un
11、Ui∈Ti，i=1,2,…，n}为基的那个唯一的拓扑T=.⑵设X1，X2，…，Xn是n≥1个度量空间，则笛卡尔积X=X1×X2×…×Xn可以有两种方式得到它的拓扑：一是先将X作成度量积空间，然后由
12、积度量诱导出X的拓扑T，其基为B={U1×U2×…×Un
13、Ui∈Ti，i=1,2,…，n}（定理2.3.1）；另一个是先用每一个Xi的度量ρi诱导出Xi的拓扑Ti，然后将X考虑作为诸拓扑空间Xi的拓扑积空间，其拓扑（即积拓扑）T的基也是B={U1×U2×…×Un
14、Ui∈Ti，i=1,2,…，n}（定理2.3.2和定义3.2.2）.因为基是同一个，所以这两种方式得到的拓扑是一样的.下面的定理是这一问题的明确陈述：定理3.2.3设X=X1×X2×…×Xn是n≥1个度量空间X1，X2，…，Xn的度量积空间.则将X和Xi都考虑作为拓
15、扑空间时，X是X1，X2，…，Xn的（拓扑）积空间.特别的，作为拓扑空间，n维欧氏空间Rn便是n个实数空间R的（拓扑）积空间.53德州学院数学系点集拓扑教案三（拓扑）积空间的性质定理3.2.4设X=X1×X2×…×Xn是n≥1个拓扑空间X1，X2，…，Xn的积空间，对于每一个i=1,2,…
