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时间:2018-07-13
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1、智浪教育---普惠英才文库初中数学竞赛辅导资料(30)概念的分类甲内容提要1.概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时,按照某一个标准把它分成几个小类,能更明确这一概念所反映的一切对象的范围,且能明确各类概念之间的区别与联系。2.概念分类必须用同一个本质属性为标准,把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类,也可用角的大小分类;又如整数可按符号性质分为正、负、零,也可以按除以模m的余数分类。分别表示如下:整数整数 整数 整数3.一种概念所分成的各类概念应既不违漏,又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个类,并且只能落
2、到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。例如 正整数按下列分类是正确的正整数 正整数如果只分为质数和合数,则外延总和比正整数的外延小;如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大,因此都不对。又如等腰三角形的定义是:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。所以三角形按边的大小分类 应是分成两类:不等边三角形和等腰三角形, 而不能是三类:(不等边,等腰,等边)如果这样,三边相等的三角形将落入两类(等腰,等边),所以概念的分类与概念的定义有直接联系。4.二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。例如三角形平面内两条直线位
3、置4智浪教育---普惠英才文库实数可分为:非负实数和负实数;四边形可分为:平行四边形和非平行四边形等等。1.从属关系的概念(上下位概念)是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。例如:等边三角形从属于等腰三角形,而等腰三角形又从属于三角形又如:代数式包含有理式和无理式,有理式包含整式和分式,整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下:代数式 三角形 等腰三角形有理式
4、 等边三角形整式 单项式6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥,互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念(同位概念)。例如:偶数和奇数;有理式和无理式;直角三角形、钝角三角形和锐角三角形,它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下:
5、 7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。 一种概念用不同的标准分类,所得的各类概念之间的关系 可能就有交叉关系的概念。例如:正数和整数是交叉关系的概念,既是正数又是整数的数叫做正整数; 等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念,外延重叠的部分,叫做等腰直
6、角三角形。图示如下: 4智浪教育---普惠英才文库乙例题30例1.把一元一次不等式ax>b (a,b是实数,x是未知数)的解的集合分类。解:把实数a,b按正,负,零分类,得不等式解的集合如下: ax>b的解集 例2.一个等腰三角形的周长是15cm,底边与腰长的差为3cm,求这个三角形的各边长。解:设底边长为xcm,则腰长是cm当腰比底大时是 -x=3∴x=3 =6 当腰比底小时是 x-=3∴x=7 =4答(略)例3.化简① (-2 ②解:①∵要使有意义,必
7、须且只需x+1≥0,即x≥-1(-2 =+x+1-2=+x-1当-1≤x<1时,原式=-(x-1)+x-1=0当x≥1时, 原式=x-1+x-1=2x-2②化去分母根式时,要乘以,当x=y时,不能进行。故当x=y时 ==当x≠y时 = 4智浪教育---普惠英才文库例4.设a,b,c是三个互不相等的正整数 求证:a3b-ab3,b3c-bc3,ca3-ca3三个数中,至少有一个能被10整除 (1986年全国初中数学联赛题)分析:∵10=2×5,只要证明三个数中,至少有一个含2和5质因数即可,含2,可把a,b,c分为奇数和偶数两
8、类;含5,则要按除以5的余数分类。解:∵ a3b-ab3=ab(a
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