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1、第3期徐威娜，等：多目标优化近似解的一些非线性标量化性质所有数学稿件请用Word+MathType排版。谢谢合作！公式尽量接排，有式号的公式断行居中。全文公式拉通编号(1)、(2)等，不要分节编号。DOI:基于选择算子改进的多目标基因算法徐威娜，汪定国，赵克全(重庆师范大学数学科学学院，重庆401331)摘要：【目的】为了提高多目标基因算法的有效性，获得更真实的Pareto前沿面。【方法】利用有效点定义减少计算复杂度，并基于分类Pareto前沿面的动态规划，定义了密度指数描绘前沿面上有效点的密集程度，使得被选点差异性更大且更靠近前沿面。【结果】在减少计算复杂度和增加被选点多样

2、性这两方面改进了多目标基因算法。【结论】数值实验结果表明该方法是有效的。数学稿件可根据需要将必要的公式写入摘要中。关键词：基因算法；多目标优化；Pareto前沿；选择算子中图分类号：O221.6文献标志码：A文章编号：1672-6693(2018)03--多目标优化理论与方法在经济管理、工程设计和交通规划等诸多领域均有十分广泛的应用。目前关于多目标优化理论与方法的研究已取得了一系列基础且重要的研究成果[1-5]。多目标优化问题的求解方法是多目标优化研究领域中十分重要的研究方向。目前，关于多目标优化问题的求解方法主要包括两种类型，一种是通过某种适当的标量化方法将多目标优化问题转

3、化为单目标优化问题，进而通过研究单目标优化问题获得多目标优化问题的一些重要性质，如-约束法[1]、线性加权法[2-3]和理想点法[4]等。虽然单目标优化问题的计算方法已经发展得比较完善，但其每次计算只能得到一个解，在实际应用中决策者通常希望得到一系列方案以适应不同的实际需求。而另一种类型则是直接设计求解多目标优化问题的算法，其中以基因算法为代表的进化计算方法已取得了大量的研究成果[6-8]。近些年来，一些学者进一步对多目标基因算法进行了改进[9-15]。特别地，Deb[11]提出了将种群内每个个体按Pareto解进行分层排序，偏好位于目标空间中稀疏区域的个体。值得注意的是，多

4、目标基因算法中主要关注这两个基本问题：选择的点均匀分布在Pareto前沿面上以及更靠近真实的Pareto前沿面。受文献[9-10]的启发，本文针对选择算子在保留被选择点的多样性和减少迭代过程中的计算复杂度这两方面进行改进。该算法在文献[11]中提出的Pareto前沿面分层选择的基础上，定义了新的密度指数用于刻画Pareto前沿面上有效点的密集程度，使得每一步迭代过程被选中点的稀疏性更大并且更靠近前沿面。最后，通过测试函数进行数值实验，结果表明该算法是有效的。1预备知识本部分主要介绍一些基本定义和基因算法的基本步骤。(公式请参考下面，尽量接排。向量、矩阵用加黑的斜体表示)给定向

5、量，，定义序关系：;；，且至少有一个使得。考虑如下多目标优化问题：第3期徐威娜，等：多目标优化近似解的一些非线性标量化性质。定义1假定，如果不存在使得，则称是(MOP)的有效点，为(MOP)的Pareto有效解。定义2假定，如果不存在使得，则称是(MOP)的弱有效点，为(MOP)的弱Pareto有效解。假设和分别为第代父代和子代。基因算法的基本步骤为：步骤1，赋初值；步骤1.1，产生初始种群；步骤1.2，设置交叉概率、变异概率和最大迭代次数；步骤2，当最大迭代次数未达到，执行；步骤2.1，交叉算子产生；步骤2.2，变异算子产生；步骤2.3，评估和，计算适应度函数；步骤2.4，

6、选择算子构建下一代种群。2基于改进选择算子的多目标基因算法本节从两方面对选择算子进行改进，提出一种解决无约束多目标优化问题的基因算法。首先，对选择算子的后代进行遴选时，若一点被视为有效点，则那些在中的点则不是有效点，可以去除该多余搜索空间。该判断可以保留种群内有效点且不影响后续迭代过程中有效点的选择。假设种群内有个点且点是有效点，且属于中点的数量为，则在下一步中需要运算的点是个而不是，新的计算量将少于原来的。原先的种群数量和迭代步骤是巨大的，该方法最大的优点在于可以减少计算的存储量和计算时间，降低计算复杂度。定理1如果点在种群中被判断为有效点，则所有在中的点被定义为集合。中全

7、部有效点等价于中有效点。证明假设为中的有效点，则任意，不存在。又由定义可知，任意使得，则可得任意，不存在。因此，为中的有效点。反之，为中的有效点，可得任意，不存在。又由任意使得，则中无有效点。则任意，不存在为中的有效点。因此，中全部有效点等价于中全部有效点。证毕因此，减少计算量的改进选择算子算法设计如下。算法1步骤1，输入当前种群，其目标函数值和被选择点的数量；第3期徐威娜，等：多目标优化近似解的一些非线性标量化性质步骤2，当被选择点的数量没有达到或种群的大小没有填充满，求得Pareto前沿面；步骤3，