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《概率论与数理统计 第十章 回归分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、概率论与数理统计第十章回归分析在实际问题中我们常常会遇到多个变量同处于一个过程之中,它们互相联系、互相制约.在有的变量间有完全确定的函数关系,例如电压V、电阻R与电流I之间有关系式:V=IR;在圆面积S与半径R之间有关系式S=πR2.自然界众多的变量之间,除了以上所说的那种确定性的关系外,还有一类重要的关系,即所谓的相关关系.比如,人的身高与体重之间的关系.虽然一个人的身高并不能确定体重,但是总的说来,身高者,体重也大.我们称身高与体重这两个变量具有相关关系.回归分析方法是一种常用的数理统计方法,是处理多个变量变
2、之间相关的一种数学方法.第十章回归分析实际上,由于实验误差的影响,即使是具有确定性关系的变量之间,也常表现出某种程度的不确定性.回归分析方法是处理变量间相关关系的有力工具.它不仅为建立变量间关系的数学表达式(经验公式)提供了一般的方法,而且还能判明所建立的经验公式的有效性,从而达到利用经验公式预测、控制等目的.因此，回归分析方法的应用越来越广泛,其方法本身也在不断丰富和发展.在一元线性回归分析里,我们要考察随机变量Y与一个普通变量x之间的联系.§1.1一元线性回归模型对于有一定联系的两个变量:x与Y,通过观测或实
3、验得到n对数据(x1,Y1),(x2,Y2),...,(xn,Yn)用什么方法可以得到这两个变量之间的经验公式呢?为此举例如下:§1一元线性回归例:维尼纶纤维的耐热水性能好坏可以用指标“缩醛化度”Y(克分子%)来衡量.这个指标越高,耐热水性能也越好.而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素.在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标.为此必须找出它们之间的关系,现安排了一批试验,获得如下数据:若重复这些试验,在同一甲醛浓度x下,所获得的缩醛化度Y不完全一致.这表明x与Y之间不能用一个完全确定的函数关系来表达.y31
4、302928272618202224262830x散点与近似直线图为了看出它们之间是否有关及存在什么样的关系,我们在直角坐标系下作出了这些点,从图上可看出:随甲醛浓度x的增加,缩醛化度Y也增加,且这些点近似在一条直线附近,但又不完全在一条直线上.引起这些点与直线偏离的原因是由于在生产和测试过程中还存在一些不可控的因素,它们都在影响着试验结果.这样我们可以把试验结果Y看成由两部分叠加而成:一部分是由x的线性函数引起,记为a+bx;另一部分是由随机因素引起,记为ε,即Y=a+bx+ε一般假设随机误差ε~N(0,σ2)
5、.即Y~N(a+bx,σ2)在Y=a+bx+ε中,x是一般变量,它可以精确测量或可以加以控制,Y是可观察其值的随机变量,ε~N(0,σ2)是不可观察的随机变量,a,8><#004699'>b是未知参数.为了获得未知参数a,<#004699'>b的估计,需要进行若干次独立试验.设试验结果为(x1,Y1),(x2,Y2),...,(xn,Yn)则Y1=a+bx1+ε1ε1~N(0,σ2)Y2=a+bx2+ε2ε2~N(0,σ2)Yn=a+bxn+εnεn~N(0,σ2)这里ε1,...,εn相互独立.这就是一元线性回
6、归模型.设给定n个点(x1,y1),(x2,y2),……,(xn,yn)那么对于平面上任意一条直线l：y=a+bx§1.2经验公式与最小二乘法我们用数量[yt-(a+bxt)]2来刻画点(xt,yt)到直线l的远近程度(利用解析几何知识不难看出,｜yt-(a+bxt)｜的几何意义是点(xt,yt)沿着平行于y轴的方向到l的最短距离,而不是沿着垂直于l的方向到l的最短距离).就定量地描述了直线l跟这n个点的总的远近程度.这个量是随着不同的直线而且变化,或是说是随不同的a与<#004699'>b而变化的,也就是说它是
7、a,<#004699'>b的二元函数,记为Q(a,<#004699'>b):于是,要找一条直线使得它总的来看最“接近”这n个点的问题,就转化为以下的问题：并且这个解是唯一的.数学上还可证明,它们确实使Q(a,<#004699'>b)达到最小.§1.3平方和分解公式与线性相关关系对面n组数据(x1,y1),(x2,y2),……,(xn,yn),有是y1，y2，…，yn这n个数据的偏差平方和,它的大小描述了这n个数据的分散程度,记作lyy.几个平方和的意义:由此可知,它的几何意义是,在回归直线上,其横坐标为n的点的纵
8、坐标.平均数也是由上面的分析可知,y1,y2,…yn分散程度可以分解为两部分ST=SR+SE,其中一部分是通过x对于Y的线性相关关系而引起的Y的分散性,另一部分是剩余部分引起的Y的分散性.现在来回答x,Y之间是否存在线性相关关系的问题.不难想到把回归平方和SR与剩余平方和SE进行比较.即在数理统计中,选取统计量来体现x与Y的线性相关关系的相对大小.若F值相当大,则表明x对
