初中数学竞赛《圆》历届考题

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1、智浪教育--普惠英才文库初中数学竞赛《圆》历届考题1(04).D是△ABC的边AB上的一点,使得AB=3AD,P是△ABC外接圆上一点,使得,求的值.解:连结AP,则,所以,△APB∽△ADP,…………………………(5分)∴,所以,∴,…………………………(10分)A1BCDAB1C1I所以.…………………………(15分)2、(05)已知点I是锐角三角形ABC的内心,A1,B1,C1分别是点I关于边BC,CA,AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上,则∠ABC等于(   )A、30°   B、45°   C、60°   D

2、、90°答:C解:因为IA1=IB1=IC1=2r(r为△ABC的内切圆半径),所以点I同时是△A1B1C1的外接圆的圆心,设IA1与BC的交点为D,则IB=IA1=2ID,所以∠IBD=30°,同理,∠IBA=30°,于是,∠ABC=60°(第3题图)ABCDOQP3.(06)正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,交AC于点Q.若QP=QO,则的值为()(A)(B)(C)(D)答:D.解:如图,设⊙O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,QA=r-m.在⊙O中,根据相交弦定理,得QA·QC=QP·QD.

3、即(r-m)(r+m)=m·QD,所以QD=.连结DO,由勾股定理,得QD2=DO2智浪教育--普惠英才文库+QO2,即,解得所以,(第4题)ABCOPEK4.(06)如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:PE·AC=CE·KB.证明:因为AC∥PB,所以∠KPE=∠ACE.又PA是⊙O的切线,所以∠KAP=∠ACE,故∠KPE=∠KAP,于是△KPE∽△KAP,所以,即.由切割线定理得所以.………………

4、…………10分因为AC∥PB,△KPE∽△ACE,于是故,即PE·AC=CE·KB.………………………………15分5(07)已知△为锐角三角形,⊙经过点B,C,且与边AB,AC分别相交于点D,E.若⊙的半径与△的外接圆的半径相等,则⊙一定经过△的().(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心答:(B).解:如图,连接BE,因为△为锐角三角形,所以,均为锐角.又因为⊙的半径与△的外接圆的半径相等,且为两圆的公共弦,所以.(第3题答案图)于是,.若△的外心为,则,所以,⊙一定过△的外心.故选(B).6.已知AB为半圆O的直径,点P为直

5、径AB上的任意一点.以点智浪教育--普惠英才文库A为圆心,AP为半径作⊙A,⊙A与半圆O相交于点C;以点B为圆心,BP为半径作⊙B,⊙B与半圆O相交于点D,且线段CD的中点为M.求证:MP分别与⊙A和⊙B相切.(第13A题答案图)证明:如图,连接AC,AD,BC,BD,并且分别过点C,D作AB的垂线,垂足分别为,则CE∥DF.因为AB是⊙O的直径,所以.在Rt△和Rt△中,由射影定理得,.……………5分两式相减可得,又,于是有,即,所以,也就是说,点P是线段EF的中点.因此,MP是直角梯形的中位线,于是有,从而可得MP分别与⊙A和

6、⊙B相切.7.如图,点E,F分别在四边形ABCD的边AD,BC的延长线上,且满足.若,的延长线相交于点,△的外接圆与△的外接圆的另一个交点为点,连接PA,PB,PC,PD.求证:(1);(2)△∽△.证明:(1)连接PE,PF,PG,因为,所以.又因为,所以△∽△,于是有,从而△∽△,所以.又已知,所以,.………………10分(2)由于,结合(1)知,△∽△,从而有,所以,因此△∽△.………………15分ABCDEIrha(第8题)8、△ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心l作DE∥BC,分别与AB、AC相交

7、于点D,E,则DE的长为    。解:如图,设△ABC的三边长为,内切圆l的半径为r,BC边上的高为,则智浪教育--普惠英才文库,所以,因为△ADE∽△ABC,所以它们对应线段成比例,因此所以DE=故 DE=。9、已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且AB=<1,以AB为一边在圆O内作正△ABC,点D为圆O上不同于点A的一点,且DB=AB=,DC的延长线交圆O于点E,则AE的长为( B )。ABCODE(第9题)A、  B、1  C、  D、解:如图,连接OE,OA,OB,设∠D=,则∠ECA=120°-=∠EAC又因为∠ABO=所

8、以 △ACE≌△ABO,于是AE=OA=110.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则的值为.解

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