论中学数学思想方法与解题方法

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1、论中学数学思想方法与解题方法1、相关定义1.1、化归思想的概念2.1化归的内涵和本质2.1化归的内涵和本质我们常常听”历史使人明智”,”借古讽今”等成语,在日常生活中我们也经常借鉴自己以往的经验或者是别人的经验来解决自己遇到的问题,这其实就是化归思想,我们在生活中、学习中、工作中时时刻刻都运用着化归思想,这是由人的思维特点决定的。人之成为人,最重要的一点就是特有的思维方式的形成,其基本特征是”以旧迎新”,以现有的方法去处理面临的新问题,这就是人类的思维定势,是化归思想方法的根源之一。化归是人类常规思维的基本特征,是人思考问题的基本习惯,像走路说话一样基本和重要,如果没有化归思想,创新发散思维

2、就会丢失立足点,同时也会造成思维”失常”,因此化归不仅维系着常规思维,也维系着人类思想、文化、技能和优良风格的传承。数学是一门以解决问题为主的学科,而化归的目的是为了解决问题,因此化归便形成了解决数学问题数学的一种重要的数学思想。数学中化归的形成,还有数学本身的根源,那就是它的公理化的方法。总是用已有的真命题去证明新命题,用已有的概念去定义新的概念,并以此为根据,去解决处理各种新的未知的问题,这就是数学化归思想。也正是数学的化归特征,使数学采用改造和包容旧体系的方式构建新的体系,使数学的大厦在牢固的根基下越来越宏伟壮观。数学作为思维的科学,其化归思想体现在高中数学内容的各个部分,形成一种规律

3、性的东西。如各种算术、代数运算最终都化归为十个数码的加乘运算。高中数学中方程的求解都可以化归为一元二次方程或一元一次方程求解或方程组求解。立体几何中的有关问题可以转化为平面几何问题去解决也可以利用空间向量转化为代数问题去解决。三角函数求值问题通过诱导公式都可以转化为求锐角三角函数值,有关三角函数的性质问题基本上都可以转化为yAsin(x)这个题根去解决。有关函数的单调性及图像问题则可以通过导数去研究。数列的求和问题一般都转化成等差数列或等比数列这两个基本数列去解决。有关不等式问题可以转化为等式去解决也可以转化为函数问题然后再利用函数单调性去解决。解析几何问题转化为平面几何问题去解决。一般方程

4、化归为标准方程,数化归为形,形化归为数(数形结合思想方法),一般化为特殊(特殊化思想方法),7直接化归为间接,近似化归为精确(极限思想方法),曲化归为直,不规则化归为规则,非线性问题化归为线性图形的变换,坐标的变换,参数方程与普通方程的变换等等[17]。数学中化归思想的本质就是化未知为已知,化陌生为熟悉。匈牙利数学家罗莎彼得在其著作《无穷的玩意》中利用烧水的例子幽默而又形象的描述了化归的过程和本质,该过程可以用下面的图形来描述(见图2-1)。图2-1化归过程和本质模式图解即将一个未解决的问题A转化为已解决的问题B,问题B就有了答案,在经过还原就可以得到问题A的答案。另外,具有”解析几何之父”

5、之称的著名数学家笛卡尔就是用化归的思想创立了解析几何学,开创了数学的另一片天地,在其著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》中提出了解决问题的”万能方法”模式:第一步,把任何问题都化归为数学问题;第二步,把任何数学问题都化归为代数问题;第三步,把任何代数问题都化归为方程的求解(见图2-2)。正是由于笛卡尔借助于建立的坐标系在点(曲线)与数对(方程)之间建立了对应关系,将几何问题转化为代数问题,很好的实现了数与形的相互转化,这样我们就可以利用代数方法来进行几何问题的研究。图2-2笛卡尔万能方法模式图解81.2、中学数学解题通法相关概念的界定概念的界定对于学校数学来说,力求提高解题教学在数学

6、教学中的作用已经是现代数学教学理论的一个特点,美国数学指导委员会一直强调:”学习数学的主要目的在于解题”,”数学课程应当围绕着问题解决来组织”。波利亚也强调指出:”中学数学教学首要的任务就是加强解题训练。”他有一句名言:”掌握数学就是意味着善于解题。”那么什么是解题呢?解题就是求出问题的答案,这个答案在数学上也叫做”解”,所以,解题也就是求出题的解。小至一个学生算出作业的答案,一个教师讲完定理的证明,大至一个数学课题得出肯定或否定的结论,一个数学技术用于工农业实际部门产生良好效益,都叫做解题。其实,解题近于掌握数学的同义语了。确实,数学工作者每日每时都离不开解题。在罗增儒的《数学解题学引论》

7、一书中说:解题是数学工作者数学活动的基本形式;解题是数学工作者数学活动的主要内容;解题是数学工作者的一个存在目的;解题是数学工作者的一个兴奋中心。不仅是对数学工作者而言,解题非常重要,世界上几乎所有的国家都把提高学生的解题能力作为数学教学的主要目的之一。因此当解题被认为是数学教学的一个目的时,它就独立于特殊的问题,独立于一般过程和应运而生及数学的具体内容,这就将影响到数学课程的设计和确定,并对课堂教学实践有重