2017年高中数学教a版选修4-1学案：互动课堂第二讲一圆周角定理word版含解析

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1、互动课堂重难突破　　一、圆周角定理圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.应当注意的是,圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才有上面定理中所说的数量关系.在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧上的圆心角的关系,然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧上的圆心角之间的关系,在角的一边不经过圆心时,又有两种情况,一是圆心在圆周角内,二是圆心在圆周角外.经过这样分不同情况的讨论,最后得到不论角的一边是否经过圆心,都有

2、定理中的结论成立.在几何里,许多定理的证明,都需要像这样分情况进行,后面还会遇到这种分情况证明的定理.另外,通过这个定理的分析、证明,我们可以看到,在几何里讨论问题时,常常从特殊情况入手,因为特殊情况下问题往往容易解决,如图2-1-1中,中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时∠AOB=2∠C很容易证明.特殊情况下的问题解决之后,再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题,如图2-1-1左图和右图的情况,通过辅助线,把它们变成中间那样的两个角的和或差,这样利用特殊情况下的结论,便可使一般情况下的结论得证.定理也可理解成一条弧所对的圆

3、心角是它所对的圆周角的二倍;圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.图2-1-1　　二、圆周角定理的两个推论推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.如图2-1-2,∠ABE=∠ACE=∠ADE,∠A=∠B=∠C.图2-1-2推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.如图2-1-3,∠ACB=∠ADB=∠AEB=90°,AB是直径.图2-1-3圆周角定理及其推论是进一步推导圆其他重要性质的理论根据,而且对于角的计算,推证角相等、弧相等、弦相等,判定相似三角

4、形、直角三角形等平面几何中常见问题提供了十分简便的方法,学习中要注意体会.三、刨根问底问题1在一个圆中,圆周角与它所对的弧的对应关系,在解决问题当中有什么作用？实践中如何加以应用？探究:在圆中,只要有弧,就存在着弧所对的圆周角.同弧对的圆周角相等,而相等的角为几何命题的推论提供了条件.但是在刚刚学习圆的知识或图形比较复杂时,往往缺少用这个知识点的意识或困难,应该在实践中不断摸索和总结规律.比如由弧找角,如图2-1-4中,已知,那么在所对的圆周上任取一点都可得到相等的圆周角∠C=∠D=∠E.也可以由角找弧,再由弧找角,如图2-1-5中

5、,AD平分∠BAC,得∠1=∠2,∠1对,∠2对,∠3也对CD,故∠1=∠2=∠3,如果要证△DBE∽△DAB,无疑两个相等的角为此提供了条件.图2-1-4图2-1-5　　问题2在圆中,直径所对的圆周角等于90°,解决问题时,应怎样利用这一条件？探究:只要在已知中给出了直径这一条件,一是要想到它和半径的关系,还要想到封闭了它所对的圆周角,便得到了直角三角形,这样有关直角三角形的性质便可应用了.如图2-1-6,以CD为直径的⊙O交△ACD的两边于B、E,连结BE.求证:ADcosA=AB.图2-1-6此题必须先证AD、AB所在△ABD

6、为直角三角形,此时连结BD,可由直径所对的圆周角为90°,创设了所需的条件.又如图2-1-7,在⊙O中,直径AB⊥CD,弦AE⊥CF.要证△ABE≌△CDF,在知∠A=∠C,AB=CD时,缺少一个条件,由AB、CD为直径,想到连结BE、CF,便可知∠E=∠F=90°,这就为证三角形全等提供了条件.活学巧用【例1】如图2-1-8,已知⊙O中,∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠BAC.图2-1-8思路解析:圆周角∠ACB与圆心角∠AOB对同一条弧,所以∠ACB=∠AOB,同理,∠BAC=∠BOC,再利用已知条件可得结论.证明:∠ACB

7、=∠AOB,∠AOB=2∠BOC,∠ACB=∠BOC,∠BAC=∠BOC∠ACB=2∠BAC.【例2】如图2-1-9,已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数为…(　　)图2-1-9A.80°B.100°C.120°D.130°思路解析:要求∠ACB,只需求所对的圆心角,然后利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解.解:∵∠AOB=100°,∴所对的圆心角为260°,∠ACB=130°.故选D.【例3】如图2-1-10,以AB为直径的半圆上任取两点M和C,过点M作MN⊥AB,交AC延长线于E,交BC于F.求

8、证:MN是NF和NE的比例中项.图2-1-10思路解析:题目即证MN2=NF·NE,连结AM、BM,从而构造出Rt△AMB,但MN、NE、NF共线,无法由相似三角