数学中考专题十四二次函数中的面积计算问题

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1、中考专题训练十四二次函数中的面积计算问题[典型例题]（2011学年第一学期西湖区期末测试）第10题例.如图，二次函数图象与轴交于A,B两点(A在B的左边)，与轴交于点C，顶点为M，为直角三角形,图象的对称轴为直线，点是抛物线上位于两点之间的一个动点，则的面积的最大值为（C）A．B．C．D．二次函数中面积问题常见类型：一、选择填空中简单应用二、不规则三角形面积运用S=三、运用四、运用相似三角形五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形例1.如图1，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为，A

2、E为，则关于的函数图象大致是图1(D)（B）例2.解答下列问题：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.xCOyABD11图1BC铅垂高水平宽ha图2A思路分析此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

3、掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为y1＝a(x－1)2＋4(a≠0)．把A(3，0)代入解析式求得a＝－1，∴抛物线的解析式为y1＝－(x－1)2＋4，即y1＝－x2＋2x＋3．设直线AB的解析式为y2＝kx＋b，由y1＝－x2＋2x＋3求得B点的坐标为(0，3)．把A(3，0)，B(0，3)代入y2＝kx＋b，解得k＝－1，b＝3．∴直线AB的解析式为y2＝－x＋3．（2）∵C(1，4)，∴当x＝1时，y1＝4，y2＝2．∴△CAB的铅垂高CD＝4－2＝2．S△CAB＝×3×2＝3(平方单位)．

4、（3）解：存在．xCOyABD11图2P设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h．则h＝y1－y2＝(－x2＋2x＋3)－(－x＋3)＝－x2＋3x由S△PAB＝S△CAB得：×3×(－x2＋3x)＝×3．整理得4x2－12x＋9＝0，解得x＝．把x＝代入y1＝－x2＋2x＋3，得y1＝．∴P点的坐标为(，)．例3.（贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点．（1）求抛

5、物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积；-3BAxyO2-1-112345-21345（3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和△PAB的面积很容易求出。第（3）问是二次函数中常见的动点问题，由于点M是抛物线上的一个不确定点，点M可以处于不同的位置，是由于点的不确定性而导致图形的形状发生特征上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。答案:（1）由题意知C（－2，0），D（0，4）．∵抛物线经过B（4，0），C（－2，0）．∴可设抛物线的解

6、析式为y＝a(x＋2)(x－4)-3BAxyO2-1-112345-21345PE将D（0，4）代入上式，解得a＝－．∴该抛物线的解析式为y＝－(x＋2)(x－4)即y＝－x2＋x＋4．（2）∵y＝－x2＋x＋4＝－(x－1)2＋．∴抛物线的顶点P的坐标为（1，）．过点P作PE⊥轴于点E，如图．则S△PAB＝S四边形PEOB－S△AOB－S△PEA＝×(1＋4)×－×4×2－×(－2)×1＝6．（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）．则S△MBC＝

7、y

8、×6＝S△PAB＝6即

9、y

10、×6＝6，∴y＝±2．当y＝2时，－(x－1)2＋＝2，解得x＝；当y＝－

11、2时，－(x－1)2＋＝－2，解得x＝．∴存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，其坐标为：M1（，2），M2（，2），M3（，－2），M4（，－2）．例4．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；BAyOPECx（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写

12、出所有符合条件的点Q的坐