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《带_直线_约束的两点间最短连线》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、犷宁护‘沪口,鞋带直线约束的两点间最短连线南充师范学院数学系陈国先“、,,有甲乙两个生产队位于地和地如图和距输电线路分别为公里,和,公里两队合用一个变压器,问设在何处最省电线,’吉林大学数学系编《数学分析》叭·,匀叫上册人民教育出版社给出尸,的解答是变压器距公里共需输电线火公里图中一门口,虚线为电线敷设方式可是如按上图中实线设置变压器与敷设电,又公里线仅需输电线公里可,节省电线约米为原长的多另外省电杆一根本文的目的就是给出在有约束直线条件时两定点间最短连线的求法见定理一,、、、、以便既改正流行解法的不当更在设计压力管道输电线路公路铁路渠道乃
2、至电,,子仪器线路时有一定的经济价值是值得推广的预备知识,‘‘,‘,,在平面上求一点代力使到平面上三个给定点的姐离总和,为最小即使。、二‘,,,‘,了一艺了一一,“”最小是法国数学家费马向意大利物理学家托里拆利提出的最优设址问题如胡,‘介。,。后者用初等几何方法解决了这个问题见介’‘,,犷夕‘“‘‘留友当然也可用微积分方法完满地解决见对。,,‘,了,,,友,人甲人’,”这里只叙述结果二,,,,,定理三点组成的三角形的每一内角都小于,,,已,已点连线。。,时最优设址点与的夹角都等于满足这个条件的点以后称,为等角结点最短路线长度,一,·’丝亚卜
3、夸一卜护一形状呈一《几“,当△已中有一内角如大于或等于时最优设址点可取在内角顶点只,处最短路线长度总是一二,,一,,二,一二,,,一,,,尸尸“丫丫,应该指出以护为边在△只已外部的等边三角形’凡的顶点’的坐标是。十丫了,夕一夕了万侣二二二一一丸,了约一这样在等角结点存在时只’“,‘又特别当乙时显然,费马的最优设址问题的解还是三点最短连线问题的解最短连线问题在图论中又一。,,,。,。,叫最小树问题是说给定个点⋯要求一连通路线通过这点并使此,,路线的长度最短由于在平面上线段长度总不超过同端点曲线长度因此连通路线可。限定为折线这条折线的顶点中异于
4、给定点者少称为虚点相邻顶点连线夹角称为结,。。又角显然虚点数不超过的点最短连线问题就是费马的点最优设址问题定理最短路线的结叉角都不小于’”,,证如最短路线中有某结叉角乙乙考虑△只可能有以下三‘种情形“,甲△的每一内角都小于图由定理知在△击成中存在等角、结点又是三叉的,,价故至少有点而且。、、丁,因此在最短路线中以折线一咬代替丈关丫一连,使中其余不变所得出的路线丫当然是连通的,的长小于的长此与的最短性矛盾,汉乙如有匕图则式,,因此在中以一代替成一一而,丁,使中其余不变所得出的路线丫仍是连通的而’的长小于的长此与的最短性矛盾。。,丙如匕禹可仿乙
5、得出矛盾“,因此的每一结叉角都术即旷”,推论如是给定点的最短连线则中每成一个顶点的叉数提虚点必为三叉点。,定理如是给定点的最短连线则中虚,一点个数《’,,二。二二证设中有个虚点从而共有个顶点有而且仅有十一条边,,二一条,另一方面中虚点之间的连线至多有二虚点又是三叉的故至少有二一二一常条边于是,刀十一,蕊所以戈”提一,“时,由定理得出最多有一个虚点因而有推论费马的三点最优设址问题的解就是三点最短连线的解,,“、,,一个附带指出满足结叉角不小于虚点不超过的连通路线称为可行,,。线可行线只是最短连线的必要条件但在的情形还是充分条件两点带直线约束的
6、最优设址问题“,,现在可以讨论本文开始时提出的在定直线上求一点址点使与二定点”,,的连线最短当位于异侧时包括或在上址点显然就是直线,与的交点因此只须讨论位于同侧的情形,,,以后总约定到定直线的垂足分别为与如图所示以为轴引入坐标系已知点坐标记为,。,,,。不失一般性规定,二最优设址点只须在镇,汉,,寻求易于理解三点最短连线长度仍记为幻由上节结果易知幻的表,,,达式应与三点位置有关由》“得乙成艺只须考虑匕,匕的变化亡一甲‘犷引理存在〔,使乙一。‘的充要条件是了了对于,满足乙》护的了幻占、二,了丽不奋了一‘且总有了,二。,占一。,。》了,〔,,甲
7、,证由图易知存在使乙妻当且仅当即一、丁,,、、田兰一一竺李一二匕心一李‘丫,,,,由定理与推论知此时三点的最短连线呈一一汉刀刀一,二,,占一。,二,了了至于。犷云一。,丫石千显然成立’。‘,“”,了丁咨二还可如图,那样解释、以为底作外接等边三角形孟,点的坐标由定理知几‘了丁,一’二一二一一一乙乙。二,,可见了丁一,等价于毛。即厂引理,。,入艺夕几一丑一了矿了护一以在“闷石飞拳处取得最小值“一丫万不石下石歹,这个引理的光学解释就是著名的费马光行最速原理此时视为入射光线,,为反射光线有人射角反射角由此结果结合图其中’是关于线的对称,点有,一一之
8、五、。,汽入艺玉大万一—‘—一火些二从而’几·,一十‘一一丫一丫万不万再乎丫六丫一口,引理当△的每一内角都小于时一了丁,,、护了丁,一式二了降气一少一寸气州卜———了丁十一二一乙
