医学统计学王一任

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1、第九章双变量回归与相关本章内容：第一节直线回归第二节直线相关第三节秩相关第四节加权直线回归（不讲）第五节两条回归直线的比较（不讲）第六节曲线拟合(简单介绍）双变量计量资料：每个个体有两个变量值总体：无限或有限对变量值样本：从总体随机抽取的n对变量值（X1,Y1）,（X2,Y2）,…,（Xn,Yn）目的：研究X和Y的数量关系方法：回归与相关简单、基本——直线回归、直线相关第一节直线回归一、直线回归的概念目的：研究应变量Y对自变量X的数量依存关系。特点：统计关系。X值和Y的均数的关系，不同于一般数学上的X和Y的函

2、数关系。为了直观地说明直线回归的概念，以8名儿童的年龄（岁）与其尿肌酐含量（mmol/24h）数据(见例9-1)在坐标纸上描点，得到图9-1所示散点图（scatterplot）。在定量描述儿童年龄与其尿肌酐含量数量上的依存关系时，将年龄称为自变量(independentvariable)，用X表示；尿肌酐含量称为应变量(dependentvariable)，用Y表示。由图9-1可见，尿肌酐含量Y随年龄X增加而增大且呈直线趋势，但并非8个点子恰好全都在一直线上，此与两变量间严格的直线函数关系不同，称为直线回归（

3、linearregression）,其方程叫直线回归方程，以区别严格意义的直线方程。回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归。直线回归方程的一般表达式为为各X处Y的总体均数的估计。1．a为回归直线在Y轴上的截距。a>0，表示直线与纵轴的交点在原点的上方；a<0，则交点在原点的下方；a=0，则回归直线通过原点。2.b为回归系数，即直线的斜率。b>0，直线从左下方走向右上方，Y随X增大而增大；b<0，直线从左上方走向右下方，Y随X增大而减小；b=0，表示直线与X轴平行，X与Y无直线关系。b的统计学意义

4、是：X每增加(减)一个单位，Y平均改变b个单位。英国人类学家F.Galton首次在《自然遗传》一书中，提出并阐明了“相关”和“相关系数”两个概念，为相关论奠定了基础。其后，他和英国统计学家KarlPearson对上千个家庭的身高、臂长、拃长（伸开大拇指与中指两端的最大长度）做了测量，发现：历史背景：儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X，英寸）存在线性关系：也即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton将这种趋向

5、于种族稳定的现象称之“回归”。目前，“回归”已成为表示变量之间某种数量依存关系的统计学术语，并且衍生出“回归方程”“回归系数”等统计学概念。如研究糖尿病人血糖与其胰岛素水平的关系，研究儿童年龄与体重的关系等。残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定回归线上的估计值的纵向距离。求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能最好地代表数据点分布趋势的直线。原则：最小二乘法(leastsumofsquares)，即可保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小二、直线回归方程的求法例9-1某地方病研究所调查了8名正

6、常儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表9-1。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X）的回归方程。表9-18名正常儿童的年龄（岁）与尿肌酐含量（mmol/24h）解题步骤此直线必然通过点(,)且与纵坐标轴相交于截距。如果散点图没有从坐标系原点开始，可在自变量实测范围内远端取易于读数的值代入回归方程得到一个点的坐标，连接此点与点(,)也可绘出回归直线。三、直线回归中的统计推断（一）回归方程的假设检验建立样本直线回归方程，只是完成了统计分析中两变量关系的统计描述，研究者还须回答它所来自的总体的直线回归关系是否确实存

7、在，即是否对总体有？1．方差分析数理统计可证明：上式用符号表示为式中上述三个平方和，各有其相应的自由度，并有如下的关系：如果两变量间总体回归关系确实存在，回归的贡献就要大于随机误差，大到何种程度时可以认为具有统计意义，可计算统计量F:式中2.t检验例9-2检验例9-1数据得到的直线回归方程是否成立？（1）方差分析表9-2方差分析表列出方差分析表如表9-2。（2）t检验注意：（二）总体回归系数的可信区间利用上述对回归系数的t检验，可以得到β的1－α双侧可信区间为例9-3根据例9-1中所得b=0.1392，估计其

8、总体回归系数的双侧95%可信区间。（0.1392-2.447×0.0304，0.1392+2.447×0.0304）=（0.0648，0.2136）（三）利用回归方程进行估计和预测（9-15）（9-14）反映其抽样误差大小的标准误为（9-16）（9-17）例9-4用例9-1所得直线回归方程，计算当X0=12时，的95%可信区间和相应个体值的95%预测区间。计算步骤例9-1、例9-2已计算出第二节直线