有向图的邻接矩阵

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1、有向图的邻接矩阵　　设有向图，，。令为邻接到的边的条数，称为D的邻接矩阵，记作。　　　　　　为图7.12的邻接矩阵，不难看出：　　(1)(即第i行元素之和为的出度)，。　　(2)(即第j列元素之和为的入度)，。　　(3)由(1)，(2)可知，为D中边的总数，也可看成是D中长度为1的通路总数，而为D中环的个数，即D中长度为1的回路总数。　　D中长度大于等于2的通路数和回路数应如何计算呢？　　为此，先讨论长度等于2的通路数和回路数。　　在图D中，从顶点到顶点的长度等于2的通路，中间必经过一顶点。对于任意的k，若有通路，必有且，即。反

2、之，若D中不存在通路，必有或，即。于是在图D中从顶点到顶点的长度等于2的通路数为：　　由矩阵的乘法规则知，正好是矩阵中的第i行与第j列元素，记，即就是从顶点到顶点的长度等于2的通路数，时，表示从顶点到顶点的长度等于2的回路数。　　因此，即矩阵中所有元素的和为长度等于2的通路总数(含回路)，其中对角线的元素和为长度等于2的回路总数。　　根据以上分析，则有下面的推论。　　定义有向图，，D中长度为的通路数和回路数可以用矩阵(简记)来表示，这里，其中，　　即　　则为顶点到顶点长度为的通路数，为到自身长度为的回路数。中所有元素之和为D中长

3、度为的通路数，而中对角线上元素之和为D中始于(终于)各顶点的长度为的回路数。　　在图7.12中，计算，，如下：　　　　　　观察各矩阵发现，，，。于是，D中到长度为2的通路有3条，长度为3的通路有4条，长度为4的通路有6条。由，，可知，D中到自身长度为的回路各有1条(此时回路为复杂的)。由于，所以D中长度为2的通路总数为10，其中有3条回路。　　从上述分析，可得下面定理。　　定理7.5设为有向图D的邻接矩阵，，则中元素为到长度为的通路数，为D中长度为的通路总数，其中为D中长度为的回路总数。　　若再令矩阵　　　　，　　　　，　　　　

4、……　　　　，　　上面定理有下面推论。　　推论　设，则中元素为D中到长度小于等于的通路数，为D中长度小于等于的通路总数，其中为D中长度小于等于的回路总数。