运用双向表求解古典概型问题研究

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1、发表于《上海中学数学》2011年第1期运用“双向表”求解古典概型问题研究314300浙江海盐元济高级中学卢明1．问题的提出列举法是解高中数学古典概型问题的常用方法．按照参变量的个数分类，列举法可以分为一维列举、二维列举乃至多维列举．例如，“同时掷2颗骰子，求向上的数字之积大于6的概率”就是一个“二维列举”的问题．此类问题，通常采用“实数对”的方法来列举、求解．然而，随着基本事件个数的增加，“实数对”法列举时非常容易遗漏情况，从而导致出错．横标目纵标目两个变量满足的某种关系（表1）“双向表”是教育统计学中研究双变量问题的一种常用工具．表格的横标目表示一个变量的情

2、况，纵标目表示另一个变量的情况，表格的中间部分表示两个变量所满足的某种关系．（见表1）笔者借助这一工具，尝试求解“二维列举”型古典概率问题，起到了事半功倍的效果．2．“双向表”的基本应用例1将一个骰子先后掷2次，向上的数字之和等于6的概率是多少？分析：这是一个“二维列举”问题，满足条件的基本事件可以用“实数对”来列举：，，，，，共5种．本题中的基本事件总数为种，于是，所求的概率等于．123456123456723456783456789456789105678910116789101112下面介绍怎样用“双向表”来求解．解：记第一次掷的点数为，第二次掷的点数为

3、，．则的取值情况见“双向表”（表2）．因为掷骰子时，骰子的每个面向上的可能性都是相等的，即为等可能事件．又两次掷骰子是互相独立的，所以，所取到的每一个值也是等可能的．故两次掷得的向上的数字之和等于6的概率为：（表2）．点评：以上解法，所有的基本事件都已经在“双向表”中列出，由于-7-取到表内的各数值是等可能的，所以，计算基本事件个数只要数一下表内相应数字的个数就可以了．如果将题目改成“将一个骰子先后掷2次，求向上的数字之和大于6的概率”，那么，用“双向表”法明显比用“实数对”法要简捷得多，且列举时可以避免遗漏现象．例2（09·浙江理样卷19）甲从装有编号为1，

4、2，3，4，5的卡片的箱子中任取一张，乙从装有编号为2，4的卡片中任取一张．用、分别表示甲、乙取得的卡片上的数字．（1）求概率；（2）记，求的分布列与数学期望．123452××√√√4××××√解：（1）记“”为事件，则的发生情况见“双向表”（表3）．因为甲、乙抽卡片抽到的结果是等可能事件，所以表内的10个结果出现的情况也是等可能的．记“√”表示满足，“×”表示不满足．（表3）于是．（2）由题意，，则，见（表4），的分布列为：12345222345444445，，（表4），．．点评：“双向表”中横向、纵向两个变量的取值个数可以是不同的；“双向表”中所填的数据也

5、不一定是两个变量的运算结果，如两个变量的“和”、“积”等，它们可以是两个变量大小比较的结果．例3（04·浙江理18）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同），记第一次与第二次取到球的标号之和为．-7-1251236234756710（1）求随机变量的分布列；（2）求随机变量的期望．解：（1）记第一次抽到的标号为，第二次抽到的标号为，．则的取值情况（表5）见“双向表”（表5）．依题意得，取到1号球、2号球和5号球的概率分别是、和，所以，

6、表5内的取值不是等可能的，故不能用“数个数”的方法来计算基本事件的个数．但我们可以用排列组合的思想来计算基本事件的个数．随机变量的分布列为：，，，，，．（2）略．点评：如果“双向表”中所列出的基本事件（数据）不是可能性的，则必须用排列组合的方法来求基本事件的个数．在求的分布列时，诸如中的系数“”表示“双向表”中基本事件“”出现的次数（下同）．-7-错解：由“双向表”得，随机变量的分布列为：，，，，，．例4（06·安徽卷理19）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方案作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要两种不同的添加剂．现有芳香度分

7、别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．求的各概率．分析：记第一种添加剂的芳香度为，0123450×1234511×3456223×5673345×7844567×955（表6）6789×第二种添加剂的芳香度为，．则的取值情况见“双向表”（表6）．因为表示所选用的两种不同添加剂的芳香度之和，故“双向表”中对角线上的数据不存在．（具体解题过程略）点评：此例进一步说明了“双向表”内的数据可以随具体情况的变化而变化，进而说明了“双向表”在解“二维列举

8、”型概率问题时适用的广泛性．3．“双向