高考数学第二轮热点专题复习——导数3

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1、高考数学第二轮热点专题复习——导数考纲指要：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。考点扫描：导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性考题先知：例1．设函数，其中实数A、B、C满足：

2、①；②。（1）求证：；（2）设，求证：。证明：（1）由得：，又，所以，（2）当时，等价于当时，，所以只须证明当时，，由②知：且，所以为开口向上的抛物线，其对称轴方程，又由得：，即，所以，当时，有==，所以为[0，2]上的增函数。因此，当时，有，即当时，。评注：本题以一元三次函数为载体，以导数作为工具，进一步研究函数性质、代数式变形、解析几何和不等式证明等数学问题，对于这些题目，导数仅仅是背景，核心还是初等数学的变化技巧。例2已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅰ)求的表达式；（Ⅱ）设，若对任意的,不等式恒成立，求实数的最小值。解析：

3、(Ⅰ)因为在区间上单调递增，在区间单调递减，所以方程的两根满足。由，得，所以，而，故，则，从而。故（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立，等价于在区间上，。当时，，所以在区间上单调递减，从而在区间上，，则由，解得或，结合，可得实数的最小值为。复习智略：例3．(1)已知，试求函数的最小值；（2）若，求证：。分析：求函数最值的常见方法是通过求导，确定函数的单调区间，从而求出其最值。解：（1）对于函数，求导得，由得，当时，，函数是递减函数；当时，，函数是递增函数；所以当时，函数。（2）由第（1）题得：从而，，，三式相加得：变化：由（1）知：，从而，，，三式相加，结合得：。联想：在三角函数中，有公式，

4、因此，若，且，则。类比：若，则检测评估：1.如果f'(x)是二次函数,且f'(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,－),那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是()A.(0,)B.[0,]∪[,π]C.[0,]∪[,π]D.[,]2．已知函数在R上可导，且·，则与的大小关系是A．=B．D．不能确定（）3．已知函数在R上可导，当时，，且当，时有，若，则不等式解集为（）A．B．C．D．4．若函数是导函数的单调递减区间是（）A．[－1，0]B．C．[1，]D．5设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为()A0B1CD

5、6．已知，方程在区间内根的个数是　　　.7.已知曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为,则.8．已知函数是R上的奇函数，当时取得极值，则的单调区间是；9．若方程在上有解，则实数的取值范围是。10．已知函数在R上为减函数，则的取值范围是11．已知，点A(s,f(s)),B(t,f(t))(I)若,求函数的单调递增区间；(II)若函数的导函数满足：当

6、x

7、≤1时，有

8、

9、≤恒成立，求函数的解析表达式；(III)若0

10、，求证：①；②。点拨与全解：1．解：因，所以，故选B。2．解：因，从而，得，所以原函数为，从而>，故选C。3．解：因当时，，所以在上单调递增；因当，时有，所以为偶函数，原不等式可化为，即，得，故选C。4．解：由得，即当时，函数单调递增，又是单调递减的，所以当，即[1，]时单调递减，故选C。5．解。∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1－)n=4·()n+1故选D。6．解：记，由得，所以当时，在区间上

11、单调递减，又，故原方程在区间内有且只有一根。7．解：过点处的切线是，与轴交点为，与直线的交点为，所以围成的三角形的面积=，得。8．解：∵为R上的奇函数，∴，即，∴d=0.∴，.∵当x=1时，取得极值.∴∴解得：.∴，，令，则或，令，则.∴的单调递增区间为和，单调递减区间为.9．解：记，因得，所以在上，当时，函数有极小值，且在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，又，所以当，即当时，方程在[1，2]上有一解，当，即当[0，2]时，方程在[0，1]上有