数学最后大题精讲3

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1、高考数学140分必读之把关题解析30讲（3）1．泉州模拟21．（本小题满分12分）过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。解法（一）：（1）设由得：………………………………3分直线PA的方程是：即①同理，直线PB的方程是：②由①②得：∴点P的轨迹方程是……………………………………6分（2）由（1）得：Page10of10…………………………10分所以故存在=1使得…………………………………………12分解法（二）：（1）∵直线PA

2、、PB与抛物线相切，且∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且设PA的直线方程是由得：即…………………………3分即直线PA的方程是：同理可得直线PB的方程是：由得：故点P的轨迹方程是……………………………………6分（2）由（1）得：………………………………10分Page10of10故存在=1使得…………………………………………12分22．（本小题满分14分）设函数在上是增函数。（1）求正实数的取值范围；（2）设，求证：解：（1）对恒成立，对恒成立又为所求。…………………………4分（2）取，，一方面，由（1）知在上是增函数，即………………………………

3、……8分另一方面，设函数∴在上是增函数且在处连续，又∴当时，∴即Page10of10综上所述，………………………………………………14分2．扬州二模20．(本小题满分12分)如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．(1)求双曲线的方程；(2)若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设双曲线的方程为，则．由，得，即．∴（3分）解之得，∴．∴双曲线的方程

4、为．（5分）(2)设在轴上存在定点，使．设直线的方程为，．由，得．即①（6分）∵，，∴．即．②（8分）把①代入②，得③（9分）Page10of10把代入并整理得其中且，即且．．（10分）代入③，得，化简得．当时，上式恒成立．因此，在轴上存在定点，使．（12分）21．(本小题满分14分)已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记．(1)求；(2)试比较与的大小（）；(3)求证：，（）．解：(1)∵，①∴．②②－①，得，即．（3分）在①中令，可得．∴是首项为，公比为的等比数列，．（4分）(2)由(1)可得．．∴，（5分）Pag

5、e10of10．而，且，∴，．∴，（）．（8分）(3)由(2)知，，（）．∴当时，．∴，（10分）（当且仅当时取等号）．另一方面，当，时，．∵，∴．∴，（13分）（当且仅当时取等号）．∴．（当且仅当时取等号）．综上所述，，（）．（14分）3．北京朝阳二模（19）（本小题满分13分）Page10of10如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。（I）求证：；（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满

6、足，试判断的范围，并用代数方法给出证明。解：（I）右准线，渐近线……3分（II）Page10of10双曲线C的方程为：……7分（III）由题意可得……8分证明：设，点由得与双曲线C右支交于不同的两点P、Q……11分，得的取值范围是（0，1）……13分（20）（本小题满分13分）已知函数，数列Page10of10满足（I）求数列的通项公式；（II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；（III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理

7、由。（IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值。解：（I）……1分……将这n个式子相加，得……3分（II）为一直角梯形（Page10of10时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1……6分（III）设满足条件的正整数N存在，则又均满足条件它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。设共有m个满足条件的正整数N，则，解得中满足条件的正整数N存在，共有495个，……9分（IV）设，即则显然，其极限存在，并且……10分注：（c为非零常数），等都能使存在。Page10of10