数学最后大题精讲3

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1、高考数学140分必读之把关题解析30讲(3)1.泉州模拟21.(本小题满分12分)过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点,(1)求点P的轨迹方程;(2)已知点F(0,1),是否存在实数使得?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由。解法(一):(1)设由得:………………………………3分直线PA的方程是:即①同理,直线PB的方程是:②由①②得:∴点P的轨迹方程是……………………………………6分(2)由(1)得:Page10of10…………………………10分所以故存在=1使得…………………………………………12分解法(二):(1)∵直线PA

2、、PB与抛物线相切,且∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0,且设PA的直线方程是由得:即…………………………3分即直线PA的方程是:同理可得直线PB的方程是:由得:故点P的轨迹方程是……………………………………6分(2)由(1)得:………………………………10分Page10of10故存在=1使得…………………………………………12分22.(本小题满分14分)设函数在上是增函数。(1)求正实数的取值范围;(2)设,求证:解:(1)对恒成立,对恒成立又为所求。…………………………4分(2)取,,一方面,由(1)知在上是增函数,即………………………………

3、……8分另一方面,设函数∴在上是增函数且在处连续,又∴当时,∴即Page10of10综上所述,………………………………………………14分2.扬州二模20.(本小题满分12分)如图,直角坐标系中,一直角三角形,,、在轴上且关于原点对称,在边上,,的周长为12.若一双曲线以、为焦点,且经过、两点.(1)求双曲线的方程;(2)若一过点(为非零常数)的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、,且,问在轴上是否存在定点,使?若存在,求出所有这样定点的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设双曲线的方程为,则.由,得,即.∴(3分)解之得,∴.∴双曲线的方程

4、为.(5分)(2)设在轴上存在定点,使.设直线的方程为,.由,得.即①(6分)∵,,∴.即.②(8分)把①代入②,得③(9分)Page10of10把代入并整理得其中且,即且..(10分)代入③,得,化简得.当时,上式恒成立.因此,在轴上存在定点,使.(12分)21.(本小题满分14分)已知数列各项均不为0,其前项和为,且对任意都有(为大于1的常数),记.(1)求;(2)试比较与的大小();(3)求证:,().解:(1)∵,①∴.②②-①,得,即.(3分)在①中令,可得.∴是首项为,公比为的等比数列,.(4分)(2)由(1)可得..∴,(5分)Pag

5、e10of10.而,且,∴,.∴,().(8分)(3)由(2)知,,().∴当时,.∴,(10分)(当且仅当时取等号).另一方面,当,时,.∵,∴.∴,(13分)(当且仅当时取等号).∴.(当且仅当时取等号).综上所述,,().(14分)3.北京朝阳二模(19)(本小题满分13分)Page10of10如图,已知双曲线C:的右准线与一条渐近线交于点M,F是双曲线C的右焦点,O为坐标原点。(I)求证:;(II)若且双曲线C的离心率,求双曲线C的方程;(III)在(II)的条件下,直线过点A(0,1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间,满

6、足,试判断的范围,并用代数方法给出证明。解:(I)右准线,渐近线……3分(II)Page10of10双曲线C的方程为:……7分(III)由题意可得……8分证明:设,点由得与双曲线C右支交于不同的两点P、Q……11分,得的取值范围是(0,1)……13分(20)(本小题满分13分)已知函数,数列Page10of10满足(I)求数列的通项公式;(II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为,求;(III)在集合,且中,是否存在正整数N,使得不等式对一切恒成立?若存在,则这样的正整数N共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在,请说明理

7、由。(IV)请构造一个与有关的数列,使得存在,并求出这个极限值。解:(I)……1分……将这n个式子相加,得……3分(II)为一直角梯形(Page10of10时为直角三角形)的面积,该梯形的两底边的长分别为,高为1……6分(III)设满足条件的正整数N存在,则又均满足条件它们构成首项为2010,公差为2的等差数列。设共有m个满足条件的正整数N,则,解得中满足条件的正整数N存在,共有495个,……9分(IV)设,即则显然,其极限存在,并且……10分注:(c为非零常数),等都能使存在。Page10of10

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