函数的拆分重组法

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1、函数的拆分重组法　　高考中，导数综合应用这一类题所给的函数往往比较复杂，而且常常含有参数.如果我们能对所给的函数进行重新组合，就可以降低难度、方便求解.下面我们给大家介绍函数拆分重组的几个要诀.　　要诀一：一边归零　　一边归零，就是通过移项，把算式的一边化为零，使式子两边的两个函数转化为一个函数.这个方法在导数综合应用中是最基本、最常用的.　　例1[2013年高考数学新课标Ⅰ全国卷（理科）第21题第Ⅱ小题]已知函数f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1），若x≥-2，　　f（x）≤kg（x），求k的

2、取值范围.　　解析：f（x）≤kg（x）kg（x）-f（x）≥0.设函数F（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2，则由题意可知当x≥-2时，F（x）≥0恒成立.F′（x）=2kex（x+2）-2x-4=2（x+2）（kex-1）.　　因为x≥-2，所以若k≤0，则kex-10.　　令F′（x）=0得x1=-lnk，x2=-2.当-lnke2时，kex-1>0，又x≥-2，所以F′（x）≥0，函数F（x）单调递增.所以F（x）min=F（-2）=2-2ke-2=2e-2（e2-k）<0，

3、不满足条件.　　当-lnk≥-2即0e-lnk=，kex-1>0，F′（x）>0，函数F（x）单调递增.所以F（x）min=F（-lnk）=2k??（1-lnk）-（lnk）2+4lnk-2=lnk（2-lnk）.要使F（x）≥0在x≥-2上恒成立，需使lnk（2-lnk）≥0恒成立.因为00恒成立，求k

4、的取值范围.　　解析：由题意可知x>0，若kx2-lnx>0恒成立，则k>恒成立.设f（x）=，则k>f（x）max.　　当f′（x）==0时，x=.当00，函数f（x）单调递增.当x>时，f′（x）.　　点评：其实例1也可用参数和自变量分离的方法来解答：　　f（x）≤kg（x）即x2+4x+2≤2kex（x+1）.当x>-1时，应有k≥恒成立；当-2≤x<-1时，应有k≤恒成立.　　设G（x）=（x≠-1），G′（x）=-.当x∈（-2，-1）∪（-1，0）时，G′（x）>0，函数G（x）单调递增；当x∈（0

5、，+∞）时，G′（x）<0，函数G（x）单调递减.　　所以当x>-1时，k≥Gmax=G（0）=1；当-2≤x<-1时，k≤G（-2）=e2；当x=-1时，x2+4x+2≤2kex（x+1）也成立，所以k的取值范围为[1，e2].　　要诀三：化为熟悉的函数　　一边归零是为了把两个函数化为一个函数，参数和自变量分离是为了使研究的函数不再含有参数，最终目的都是为了顺利求解.事实上，在分析函数性质的过程中，还可以将函数拆分转化为熟悉的函数，方便解答.　　例3已知函数f（x）=x++5-m，m∈R，试讨论关于x的方程f

6、（x）=0的正实数解的个数.　　解析：将方程x++5-m=0转化成x（x+2）+m+5（x+2）-m（x+2）=0（x≠-2），可得m（x+1）=x2+7x+10（①），方程正实数解的个数就是直线l∶y=m（x+1）和抛物线C∶g（x）=x2+7x+10在（0，+∞）上的交点个数.　　如图1所示，l过定点（-1，0）.当l与C相切于y轴右边，即直线与抛物线在x∈（0，+∞）上只有一个交点时，通过①式的判别式Δ=（7-m）2-4（10-m）=0可求得m=9或m=1.将m=9代入①得x=1；将m=1代入①得x=-3

7、，舍去；当l过点（0，10）时，直线与抛物线也只有一个交点，解得m=10.　　根据直线斜率的变化可知，当m<9时，方程f（x）=0没有正实数解；当m=9或m≥10时，方程f（x）=0有1个正实数解；当9

8、质的操作更简便可行.　　【练一练】　　[2013年高考数学辽宁卷（理科）第21题第Ⅰ小题]已知函数f（x）=（1+x）e-2x，其中e是自然对数的底数.当x∈[0，1]时，求证：1-x≤f（x）≤.　　【参考答案】　　解析：f（x）≤即（1+x）e-2x≤，因为x∈[0，1]时，1+x>0，所以可化为（1+x）2≤e2x，即1+x≤ex.　　设g（x）=ex-（x+1），则g′（x）=