线性代数必须熟练掌握的方法1213

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1、《线性代数》课程必须熟练掌握的方法周海港整理　2007年12月13日1行列式的计算方法：(1)运用性质化为上（下）三角形行列式；(2)运用按行（列）展开，化为低一阶的行列式；(3)运用分块行列式的性质；(4)运用递推公式；(5)运用特殊形式的行列式，如范德蒙行列式的公式;(6)；(7)；(8),是A的特征值；【典型题目】：(p12-21)例7，例8，例9，例10，例11，例12，例13；　　　　　　（p26-28）6.8.(2)(3)(4)(6),9；(p55-56)14,24,(p135)12,132可逆矩阵的判定方法及求逆阵方法：(1);

2、　　　　　　　　(2);(3);(4).【典型题目】：（p43）逆矩阵唯一性、定理1、定理2、推论的证明；　　　　　(p44)性质的证明；(p56)习题21，22，23；(p64)例2，例3(p78)4,5,63矩阵方程的求解方法：(1)(2)【典型题目】：(p78)4,5,64分块矩阵的应用:(1)分块矩阵的乘法的前提条件(i)左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数；(ii)左边矩阵的列的分块方法与右边矩阵行的分法一致．(2)矩阵按行（列）分块.(3).【典型题目】：(p51)例17，(p56)27,28,(p64)例1，例2，例3(p70)例9

3、1初等变换、初等矩阵的应用：(1)求矩阵的秩；(2)求可逆矩阵；(3)解线性方程组；(4)解矩阵方程；(5)求向量组的线性组合；(6)向量组线性相关性的判断；(7)求向量组的秩及最大无关组；【典型题目】：(p78)2,3.2求矩阵秩的方法：(1)应用初等变换化为阶梯形矩阵；(2)应用秩的性质；(3)应用方程组的解的判定定理；(4)应用向量组的线性相关性；(5)应用方程组的解的结构定理.【典型题目】：(p69)例7，例8，例9；(p77-78)定理7　　　　　　　(p79)9,11,123线性方程组解的判定及求解方法：(1)　n元齐次线性方程组

4、Ax=0有非零解Ûr

5、,b)；(iii)解线性方程组Ax=b.(2)向量组线性表示　　(i)矩阵方程AX=B可解;　　(ii)R(A)=R(A,B).(3)向量组的等价　　(i)矩阵方程AX=B,BY=A可解;　　(ii)R(A)=R(B)=R(A,B).【典型题目】：5向量组的线性相关性：(1)向量组A:a1,a2,,×××am线性相关：　　Û(i))(定义)存在不全为零的必有k1,k2,×××=,km使得k1a1+k2a2+×××+kmam=0；Û(ii)(方程组)　Ax=0有非零解；　　Û(iii)(矩阵)　R(A)＜m(2)向量组A:a1,a2,,×××a

6、m线性无关的充要条件：　　Û(i)(定义)若k1a1+k2a2+×××+kmam=0,必有k1=k2=×××=km=0；Û(ii)(方程组)Ax=0只有零解；　　Û(iii)(矩阵)　R(A)=m(3)若向量组A:a1,a2,,×××am线性相关,则向量组B:a1,a2,,×××am,am+1也线性相关.反之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关.(4)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量个数m时一定线性相关.特别地,n+1个n维向量一定线性相关.(5)设向量组A:a1,a2,,×××am线性无关,而向量组B:a1,a2,,×××a

7、m,b线性相关,则向量b必能由向量组A线性表示,且表示式是唯一的.【典型题目】：1求正交规范基(正交矩阵)的方法:单位化:【典型题目】：2将二次型化为标准形步骤：(i)写出二次型对应的对称矩阵A;(ii)求出A的特征值；(iii)求出特征向量,正交化,单位化;(iv)写出正交矩阵及标准形.【典型题目】：3判断正定矩阵(二次型)的方法(i)定义;(ii)特征值全为正；(iii)(霍尔维茨定理)顺序主子式全为正.【典型题目】：4判断线性空间的方法(1)集合V上定义加法和数乘运算满足下面8条运算规律:(i)a+b=b+a;(ii)(a+b)+g=a

8、+(b+g);(iii)在V中存在零元素0,即,对任何aÎV,都有a+0=a;(iv)对任何aÎV,都有a的负元素bÎV,也即a+b=0;(v)1a=a;(vi)l