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1、东欧24寸黑白电视机检修四例V(to)≈V一S(tc—-}-A__t_)--一S(to)然后让△t—O,取根限促成近似向精确转化.求得:V(to)一lim—s(—to—-t-—At-)--——s(一t~)为了求变速运动的路程,我们先将时间区间[a'b]进行分割,分点依次为a—t.<t<t.……<t一<t.--b,并在每个小区间[t,ti],(i一1,23,……,n)上,对速度V--V(t)"以常代变",求出相应的路程的近似值,然后取极限促成近似向精确转化.即s—lira25V(￡)A
2、t.一IV(t)dt,其中△t.--t.一t一1,tt-]≤￡≤x.(1.)"从而解决了变与不变,近似与精确的矛盾.在研究连续曲线y—f(x)展布在[aIb]上曲边梯形的面积时遇到直和曲的矛盾.如图1所示:'螭1)我们用分点a—xo<xl<x2<……xi-]<】(1<……x一b将[a'b]分为n个小区间:[—L,],At一Ⅺ一xH,i一1,2,3,……,n,并在每个小区间上以"直代曲",求得面积A的近似值:n_1A22Jf(∈.)Ax.,(x一≤￡≤x)然后取极限促成近似向精确
3、转化,求得曲边梯形面积的精1广b确值:A—lim2f(S)△)【L—If(x)dx(1墨01"从而解决了直与曲,近似与精确的矛盾.在研究级数时又遇到了有限和无限的矛盾.我们通过部分和(6-限和)取极限求得了级数和(无限和),实现了有限向无限的转化;我们将函数展成级数,将函数的有限形式在一定条件下转化成了无限形式;而求级数的和函数又将函数的无限形式转化成有限形式,从而解决了有限和无限的矛盾如此等等,通过研究诸如此类的问题使学生感到矛盾是普遍存在的,不能害怕矛盾,回避矛盾.相反,只能承认矛盾,分析矛盾,解决矛盾
4、,在一定条件下促成事物向好的方面转化,主动去描绘既错综复杂又绚丽多姿的画卷.二,使学生懂得在对客观世界的研究中认识是逐步深化的如图2所示:平面直角坐标系x0y中的直线y—x绕Y轴旋转一周,在空间形成一个完整的园锥面,求线段OM绕y轴旋转一周所形成的园锥腔的体积V.显然v—1xy现在要问:若把Yx换成y—x,如何求旋转壳体的体积V?为了说明问题,这里不用旋转体的体积公式分析如下:J,/二_H,.7我们虽暂时不知道体积V的表达式,但不难知遭V是Y的函数V=V(y),dv=V(y)dyl田3)而V(y)又等于什
5、么呢?如图3所示:royz~y=△y<△V—V(y十△y)一V(y)<(x+△x)?△y一ⅡyAy+"(2x+△x)△xAYJt.即:△v一.△y+(2x+△x)△x.△y,(其中0<9<1)一y+(2x+△x)△x,(当△y一.时,△x—O)所以,V(y)=zry.我们的目的是求V(y),而通过分析先认识了V(y)=y.不难看出:V(y)=y+c,(因为(去y+c)=zry,C为任意常数)又当Y一0时,V一0,由此得C一0,故有V(y)-}y一音x寺xY由此使学生认识到,在对客观事
6、物的研究中因果关系是相对的.有时先认识了事物的这个侧面,有时先认识了事物的另一个侧面,逐步达到事物的全貌及其内在规律性.三,使学生深刻认识科学理论的实质性内涵,掌握事物变化的内在规律极限概念是变量数学中一个极其重要的概念,它反映了事物从量变到质变的飞跃,它象一条红线贯穿高等数学的始终.但是由于它非常抽象严密,精僻,又成为高等数学中的难点.比如:学生在学了重要极限:lim—sln—x=1(x取弧度制)^以后,往往有不少学生把lim!(x取角度制)误认为也是1.究其原因是学生虽形式上认识了这个极限,但未深入认识
7、其内涵,只是看到x—o而未深入考察x—o的速度以及Sinx与x的阶.实际上::.一(x取角度制)—__丽一面瞅用厦面由此可见:当x取弧度制并趋于零时,Sinx与x是等价无穷小.而当x取角度制并趋于零时,Sinx与x只是同阶无穷小.又如下面的问题:,某人说:若f(x)在点x.的某个邻域内有导数,则f(x)在点xo处必连续.证明如下i'f(x)-f(x)一(x--x.)f(e),其中{在x.与x之间.lim—f(x)--—f(xo):limf,({)nX—Xc…O又当x斗x.时.必有}一x.47.?.1iraf
8、r(∈)一lim坐一(xo)}0…nX——XO请问这种说法及证法对吗?为什么?学生听了这个提问后,课堂讨论往往很热烈.通过讨论得知:上面所提问题中的f(x)在X.处可能连续,如f(x)=Sinx,其导数f(x)=COSX在X=0处连续;但fr(x)在x.处也可能不连续.如lXsinX≠0.f(x)一X在x一0的邻域内有导数,但【0x一0¨)一Jin专一c.专≠.在一0处间断'L0x一0由此可见上面的说法不对,其证
