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1、第5章等价关系与偏序关系一、选择题（每题3分）1、设Z为整数集，下面哪个序偶不够成偏序集（A）A、B、C、D、2、序偶必为（B）A、非偏序集B、偏序集C、线序集D、良序集3、设Z为整数集，下面哪个序偶能够成良序集（D）A、B、C、D、4、设，则上包含关系“”的哈斯图为（C）5、集合上的偏序关系图为则它的哈斯图为（A）6、某人有三个儿子，组成集合，则在上的兄弟关系一定不是（D）A、偏序关系B、线序关系C、良序关系D、等价关系7、有一个人群集合，则在上的同事关系一定是（D）A、偏序关系B、线序关系C、良序关系D、等价关系8、设为非空集合，则下列
2、上的二元关系中为等价关系的是（D）A、空关系B、全域关系C、恒等关系D、上述关系都是9、设，则上不同等价关系的个数为（C）A、B、C、D、10、设，则上不同等价关系的个数为（C）A、B、C、D、注：除了等价关系可以对空集定义，而划分不能外，等价关系与划分是相同概念的不同描述．11、设，“”为中元素的普通乘法，定义上的等价关系，则由产生的上一个划分的分块数为（D）A、B、C、D、提示：记，则由的关系图易知．12、设，“”为中元素的普通乘法，定义上的等价关系，则由产生的上一个划分的分块数为（C）A、B、C、D、提示：因，则因，则等价关系产生的上
3、一个划分的分块数为．二、填充题（每题4分）1、设，其上偏序关系的哈斯图为则．2、设，偏序集的哈斯图为，则．3、偏序集的Hass图为4、对于，则偏序集的哈斯图为．5、设，“”为上整除关系，则偏序集的极小元为，最小元为，极大元为、最大元为．6、设，“”为上整除关系，则偏序集的极小元为，最小元为无，极大元为，最大元为无，既非极小元也非极大元的是．7、设考虑下列子集，，，，，则的覆盖有，的划分有．8、设，为的一个分划，则由导出的等价关系为．提示：．9、非空正整数子集上的模等价关系的秩为，．三、问答题（每题6分）1、试比较偏序集合、线序集合与良序集合
4、．答：若集合上的二元关系是自反的，反对称的和传递的，称序偶为偏序集；偏序集中的各元素并非都能比较，若都能比较，偏序集成为线序集；在线序集中，若的任一非空子集都有一最小元素，则线序集成为良序集．2、设，是的等价关系，由诱导的的划分块数为3，则不同的有多少种？答：一个集合上的等价关系数目与该集合的划分数目是一致的，因而，该题只需求出将5个元素的集合分成3份的划分种数即可．如果3份中元素个数分别为3，1，1，则共有种，如果3份中元素个数分别为2，2，1，则共有种，因此，上秩为3的等价关系共有+．3、设是实数集合，试判断是上的偏序关系吗？等价关系吗
5、？为什么？答：都不是；因"xÎA，x－x=0≠2，所以ÏR，R不是自反的．四、画图填表题（每题10分）1、设上的关系，画出偏序集的哈斯图，列表给出的子集的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界．解：哈斯图如图4.44所示：其子集上的各种特殊元素如下表所示，极大元极小元最大元最小元上界下界上确界下确界B1a,b,d,ea,b,c,e无无无无无无B2dcdcdcdcB3d,ec,e无无无无无无2、设的幂集上的关系，画出偏序集哈斯图，列表给出子，的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界．解：哈斯图
6、如图4.45所示：极大元极小元最大元最小元上界下界上确界下确界B1íaý,íbýÆ无Æía,b,cý,ía,býÆía,býÆB2íaý,ícýíaý,ícý无无ía,b,cý,ía,cýÆía,cýÆB3ía,b,cýía,cýía,b,cýía,cýía,b,cýía,cýía,b,cýía,cý其子集上的各种特殊元素如下表所示，3、试填出上的等价关系，其产生划分,并画出关系图．解：其关系图为：六、证明题（每题10分）1、设是上的二元关系，如果是传递的和反自反的，称是上的拟序关系，证明：如果是上的拟序关系，则是上的偏序关系．证明：（1）
7、因，有是自反的；（2）设而，则若由的传递性，知与的反自反性矛盾，则又有，于是有是反对称的；（3）由的传递性，知，因，则可传递；综上所述，可证是上的偏序关系．2、设是上的二元关系，如果是传递的和反自反的，称是上的拟序关系，证明：如果是上的偏序关系，则是上的拟序关系．证明：（1），则反自反；（2）设，则，而，因是传递的，有；若，则，由的反对称性，知，与矛盾，于是，则，有是传递的；综上所述，可证是上的拟序关系．3、设是上的对称和传递关系，证明：若，则是上的等价关系．证明：，因是对称的，有，又因是传递的，所以，则在上自反，故是上的等价关系．4、设是
8、上的偏序关系，证明：是上的偏序关系．证明：（1），因在上的自反性，则，有，于是，在上是自反的；（2）设而，则因在上的反对称性，有则于是，在上是反对称的；（3）设，则，因在上的传递
