第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答

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1、第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、开始时U形管右管中空气的体积和压强分别为V2=HA（1）p2=p1经过2小时，U形管右管中空气的体积和压强分别为（2）（3）渗透室下部连同U形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为（4）（5）式中r为水的密度，g为重力加速度．由理想气体状态方程可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数（6）在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数（7）式中NA为阿伏伽德罗常量．渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了Dp（8）经过2小时渗透室上部分中空气的压强为（9）测试过程的平均压强差（10）根据定义，由以上各式和有关数据，

2、可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数（11）评分标准：本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10)式各2分，(11)式4分．二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O处，设待测量星体位于C处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A时，另一个卫星恰好到达远地点B处，只要位于A点的卫星用角度测量仪测出AO和AC的夹角a1，位于B点的卫星用角度测量仪测出BO和BC的夹角a213，就可以计算出此时星体C与地心的距离OC．因卫星椭圆轨道长轴的长度(1)式中r近、与r远分别表示轨道

3、近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒ABOa1(2)式中m为卫星的质量．由机械能守恒(3)已知C，得(4)所以(5)在△ABC中用正弦定理(6)所以(7)地心与星体之间的距离为，在△BOC中用余弦定理(8)由式(4)、(5)、(7)得(9)评分标准：本题20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6)、(8)式各3分，(9)式6分．三、因m子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命根据时间膨胀效应，在地球上观测到的m子平均寿命为t，(1)代入数据得t=1.4×10－5s(2)相对地面，若m子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的m子数为(3)13根据题意有(4

4、)对上式等号两边取e为底的对数得(5)代入数据得(6)根据题意，可以把m子的运动看作匀速直线运动，有(7)代入数据得(8)评分标准：本题15分．(1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7)式2分，(8)式3分．zaLS1PaS2ahhS3’O1O2(S2’)O3图1M’Mu四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中表示组合透镜的平面，、、为三个光束中心光线与该平面的交点．＝u就是物距．根据透镜成像公式(1)可

5、解得因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utana≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f和L的值，算得≈1.757h(2)此解满足上面的条件．分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有(3)即光心O1的位置应在之下与的距离为(4)同理，O3的位置应在之上与的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点．2．现在讨论如

6、何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜．因为三个透镜的半径r=0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于＝＝0.854h<2r13，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．图2画出了L1、L2放在平面内时相互交叠的情况（纸面为平面）．图中C1、C2表示L1、L2的边缘，、为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与O1O2的交点．0.146h0.854h0.439h0.439hhS1’O2(S2’)O1W1W2QQ’NN’T

7、T’C1C2’圆1圆2图2x2x1K为圆心的圆1和以（与O2重合）为圆心的圆2分别是光源S1和S2投射到L1和L2时产生的光斑的边缘，其半径均为(5)圆2根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知(6)故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O1和O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线和．若沿位于和之间且与它们平行的任意直线对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部

8、分，然后把它们沿此线粘合