复变函数试卷及答案08

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1、2008年《复变函数与积分变换》试卷一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）（1）的主值是。（2）已知为解析函数，则=，，=。（3）如果的Taylor级数为，则该级数的收敛半径为。（4）设，则Res。（5）设则。二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）（1）若，则（）（A）。（B）（为任意整数）。（C）。（D）（为任意整数）。（2）设曲线为单位圆，取正向，则积分（）（A）0．（B）。（C）。（D）。（3）如果级数在点处收敛，则该级数必在（）（A）点处绝对收敛。（B）点处条件收敛。（C）点处收敛。（D）点处发散。（4）将平面上的曲线映射成

2、平面上的曲线（）（A）。（B）。（C）。（D）。（5）是函数的（）（A）本性奇点。（B）可去奇点。（C）一级极点。（D）二级极点三、（10分）已知调和函数，求调和函数，使成为解析函数，并满足。四、（25分）计算下列积分：（1），其中是从到的直线段；（2），正向（3），正向（4）；（5）。五、（15分）将函数分别在下列圆环域内展开成Laurent级数。（1）；（2）；（3）。六、（5分）已知函数（），求的Fourier变换。七、（10分）应用Laplace变换解微分方程：八、（5分）如果是区域内的解析函数，那么在内是否一定也是解析函数？为什么？2008年《复变函

3、数与积分变换》试题解答一、（1）；（2）1，-3，-3；（3）1；（4）；（5）二、（1）D；（2）A；（3）A；（4）A；（5）C三、由知，。由方程知，所以.又，故有，所以。因此.由可得，所以.四、（1）在曲线上，..（2）是在内的二级极点,是在内的一级极点.ResRes原式=.（3）原式=.（4）.分别是在上半平面内的两个一级极点.ResRes原积分=（5）令，则原式==是在内部的2级极点，是在内部的一级极点.原式=五、（1）时，（2）（3）六、。..七、令。方程两边取Laplace变换，得.即.解得.是的二级极点，是的一级极点Res.Res八、因为是内的

4、解析函数，由方程，，（1）如果也是内的解析函数，则，.（2）为使（1），（2）同时成立，当且仅当.所以（为常数）.因此，只有当在内为常数时，才能在内解析，否则不解析.