7.4 基本不等式练习题

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1、§7.4基本不等式一、选择题1.若x>0,则x+的最小值为(  ).A.2B.3C.2D.4解析 ∵x>0,∴x+≥4.答案 D2.设a,b满足2a+3b=6,a>0,b>0,则+的最小值为(  )A.B.C.D.4解析由a>0,b>0,2a+3b=6得+=1,∴+=(+)(+)=+++≥+2=+2=.当且仅当=且2a+3b=6,即a=b=时等号成立.即+的最小值为.答案A3.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这

2、台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了(  )A.600天B.800天C.1000天D.1200天解析设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为=++4.95,当且仅当=时,取得最小值,此时n=800.本题的函数模型是一个在生活中较为常见的模型,注意如何建立这类问题的函数关系式,在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱,这样要从总的耗资中把这部分除去.答案 B4.若正实数a,b满足a+b=1,则(  ).A.+有最大值4B.ab有最小值C.+有最大值D.a2+b2有最小值解析 由基本不等式,得ab≤=,所以ab≤,故B错;+==≥4,故A错

3、;由基本不等式得≤=,即+≤,故C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=,故D错.答案 C5.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是(  ).A.B.4C.D.5解析 依题意得+=(a+b)=≥=,当且仅当,即a=,b=时取等号,即+的最小值是,选C.答案 C6.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是(  ).A.0B.1C.2D.4解析 由题知a+b=x+y,cd=xy,x>0,y>0,则=≥=4,当且仅当x=y时取等号.答案 D7.已知都是正实数,函

4、数的图象过(0,1)点,则的最小值是()A.B.C.D.答案 A二、填空题8.已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为________.解析∵12=4x+3y≥2,∴xy≤3.当且仅当即时xy取得最大值3.答案39.若a是1+2b与1-2b的等比中项,则的最大值为________.解析a是1+2b与1-2b的等比中项,则a2=1-4b2⇒a2+4b2=1.∵a2+4b2=(

5、a

6、+2

7、b

8、)2-4

9、ab

10、=1.∴=,这个式子只有当ab>0时取得最大值,当ab>0时,∴===,由于a2+4b2=1,故4ab≤1,即≥

11、4,故当=4时,取最大值=.答案10.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值为________.解析 由x2+y2+xy=1,得(x+y)2-xy=1,即xy=(x+y)2-1≤,所以(x+y)2≤1,故-≤x+y≤,当x=y时“=”成立,所以x+y的最大值为.答案 11.x,y∈R,且xy≠0,则的最小值为________.解析 =1+4+4x2y2+≥1+4+2=9,当且仅当4x2y2=时等号成立,即

12、xy

13、=时等号成立.答案 912.在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P,Q两

14、点,则线段PQ长的最小值是________.解析 假设直线与函数f(x)=的图象在第一象限内的交点为P,在第三象限内的交点为Q,由题意知线段PQ的长为OP长的2倍.假设P点的坐标为,则

15、PQ

16、=2

17、OP

18、=2≥4.当且仅当x=,即x0=时,取“=”号.答案 4三、解答题13.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值; (2)x+y的最小值.解析 ∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,(1)xy=2x+8y≥2,∴≥8,∴xy≥64.故xy的最小值为64.(2)由2x+8y=xy,得:+=1,∴x+y=(x+

19、y)·1=(x+y)=10++≥10+8=18.故x+y的最小值为18.14.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)解析 (1)依题意得y=(560+48x)+=560+48x+(x≥10,x

20、∈N+);(2)∵x>0,∴48x+≥2=1440(元),当且仅当48x=,即x=15时取到“=”,此时,平均综合费用的最小值为560+1440=2000(元).所以,当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用

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