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《高三数学培优补差辅导专题讲座5－导数典例剖析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、云外2011级高三数学培优材料5导数典例剖析知识梳理1导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即2导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线 在点（）处的切线方程为3导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，4可导:如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导5可导与连续的关系
2、：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件6求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数＝7常见函数的导数公式：；；；；；8和差的导数：．9积的导数：,10商的导数：典例剖析 题型一概念问题例1若f′（x0）=2,求分析:根据导数的定义解：f′（x0）=（这时Δx=－k） ∴=［－·］=－·=－f′（x0）=－15云外2011级高三数学培优材料5点评:注意f′（x0）=中Δx的形式的变化,在上述变化中
3、可以看到Δx=－k,k→0－k→0,∴f′（x0）=,还可以写成f′（x0）=或f′（x0）=［f（x0+）－f（x0）］等题型二切线问题例2求曲线的过点A（2，-2）的切线方程。错解：显然点A在曲线上，过点A（2，-2）的切线方程为，即正解：设切点坐标为，则在点P处的切线方程为过点A（2，-2），且，整理得即或，当时，切点为，此时切线方程为，当时，切点为，此时切线方程为过点A（2，-2）的切线方程为或。剖析本题求的是经过点A的切线，而不是点A处的切线。因而不排除有其他切线经过A。通过以上几道例题，我们可以看到，在解决有关导数的问题时
4、，要理请概念，弄清题意，以免掉入“陷阱”之中。题型三单调性问题例3已知在R上单调递增，则k的取值范围是（）（A）k>1（B）（C）（D）错解：,依题意,对一切,,选A.正解：依题意,对一切,,应选B.错解原因：我们知道,对一切,是在R上单调递增的充分不必要条件.该题中,在R上单调递增的充要条件是,对一切,.值得提醒的是,并不是对一切函数,在R上单调递增的充要条件都是,对一切,, 所对应的情形应特别加以考虑.题型四极值问题例4已知函数在x=1处有极值为10,则等于多少?错解：,依题设,即解得或.当5云外2011级高三数学培优材料5时,
5、当时或.正解：当时，；当时。此时在x=1处没有极值。如图，；应舍去。。剖析应注意，是在处有极值的必要不充分条件，事实上，若是方程的偶次重根，则不是的极值点。基础训练1．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（A）（A）（B）（C）（D）2．函数，已知在时取得极值，则=（D）（A）2（B）3（C）4（D）53．函数在闭区间［-3，0］上的最大值、最小值分别是（）（A）1，-1（B）1，-17（C）3，-17（D）9，-19xyO解：由得，令得，令得或，令可得，考虑到，所以的增区间是，减区间为，又，，，所以最大值、最小值分别为3，－
6、17．故选C4．设函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则导函数y=f¢(x)可能为（ ）xyO（A）xyO（B）xyOxyO（D）（C）解：由图象知，当时，为增，所以这时导数为正，可排除选项A、C；又当时，存在减区间，所以导数存在负值，于是可排除选项B，选D5．若函数f（x）=ax3－x2+x－5在R上单调递增，则a的范围是a≥5云外2011级高三数学培优材料56．与函数的图象相切，切线斜率为1的切点是P4（C）7．如右下图,函数的图象在点P处的切线方程是，则的值为解：从图中可见，P点是直线和曲线的公共点，所以由P点的纵坐标，可得；
7、又P点处切线的斜率为，即，故8．(10重庆理)已知函数其中实数。（I）若a=-2，求曲线在点处的切线方程；（II）若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。解：（Ⅰ）.当时，，而，因此曲线在点处的切线方程为即.（Ⅱ），由（Ⅰ）知，即，解得.此时，其定义域为，且，由得.当或时，；当且时，.由以上讨论知，在区间上是增函数，在区间上是减函数.9．设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m9、解：（Ⅰ）因又在x=0处取得极限值，故从而由曲线y=在（1，f（1）
8、）处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2，即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令5云外2011级高三数学培优材料5（1）当（2）当K=1时，g（x）在R上为增函数（3）方程有两个不相等实根当函数当时，故上为减函数时，故上为增函数5
