高三数学培优补差辅导专题讲座3－函数单元易错题分析与练习

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1、云外2011级高三数学培优材料3函数部分易错题分析2函数的几个重要性质：①如果函数对于一切，都有或f（2a-x）=f（x），那么函数的图象关于直线对称.②函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于坐标原点对称.③若奇函数在区间上是递增函数，则在区间上也是递增函数．④若偶函数在区间上是递增函数，则在区间上是递减函数．⑤函数的图象是把函数的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；函数(的图象是把函数的图象沿x轴向右平移个单位得到的；函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向下

2、平移个单位得到的.例题讲解【易错点5】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。例5、函数的反函数为，证明是奇函数且在其定义域上是增函数。【思维分析】可求的表达式，再证明。若注意到与具有相同的单调性和奇偶性，只需研究原函数的单调性和奇偶性即可。解析：，故为奇函数从而为奇函数。又令在和上均为增函数且为增函数，故在和上分别为增函数。故分别在和上分别为增函数。【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定义域为非单元素的偶函数不存

3、在反函数。（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即。【易错点6】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。例6、试判断函数的单调性并给出证明。【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义中的5云外2011级高三数学培优材料3的任意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。解析：由于即函数为奇函数，因此只需判断函数在上的单调性即可。设，由于故当时，此时函数在上增函数，同理可证函数在上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数

4、在为减函数，在为增函数。综上所述：函数在和上分别为增函数，在和上分别为减函数.【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。（2）单调性的定义等价于如下形式：在上是增函数，在上是减函数，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两点连线的斜率都大于（小于）零。（3）是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不能说在上为增函数，在上为减函数,在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”，【易错点7】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误

5、作充要条件使用，导致错误结论。例7、（2004全国高考卷）已知函数上是减函数，求a的取值范围。【易错点分析】是在内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如在R上递减，但。解析：求函数的导数（1）当时，是减函数，则故解得。（2）当时，易知此时函数也在R上是减函数。（3）当时，在R上存在一个区间在其上有，所以当时，函数不是减函数，综上，所求a的取值范围是。【知识归类点拔】若函数可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①与5云外2011级高三数学培优材料3为增函数的关系:能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是

6、为增函数的充分不必要条件。②时，与为增函数的关系:若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。③与为增函数的关系:为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎

7、处理。因此本题在第一步后再对和进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。【易错点8】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。例8、是否存在实数a使函数在上是增函数？若存在求出a的值，若不存在，说明理由。【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。解析：函数是由和复合而成的，根据复合函数的

8、单调性的判断方法（1）当a>1时，若使在上是增函数，则在上是增函数且大于零。故有